Il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine

Il metodo di R-K^7.3 è un metodo numerico di soluzione di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine a valori iniziali: problemi ai valori iniziali.
Una qualsiasi equazione differenziale ordinaria, in cui cioè tutte le variabili dipendenti sono funzione di un'unica variabile indipendente, di qualsiasi ordine, può sempre essere ridotta ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Ad esempio una equazione del tipo:

$$\ensuremath{\frac{d^2\, g}{d\, x^2}}\ + \ q(x) \ \ensuremath{\frac{d\,g}{d\,x}}\ = \ r(x)$$

nell'incognita scalare $g(x)$ può essere riscritta nella forma di sistema:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \ensuremath{\frac{d... ...frac{d\,y_2}{d\,x}}&=&r(x)\ -\ q(x)\ y_2(x) \end{array}\right.$$

nella funzione vettoriale incognita $y(x)=\{y_1(x),y_2{x}\}^T$ , dove l'incognita originale $g(x) \equiv y_1(x)$ e $y_2(x)$ è una nuova variabile dipendente.
In generale il generico problema di equazioni differenziali ordinarie viene quindi sempre ricondotto allo studio di un sistema di M equazioni accoppiate del primo ordine per le funzioni $y_i$ , nella forma:

$$\left. \ensuremath{\frac{d\,y_i}{d\,x}} = f_i(x,y_1,\dots,y_M) \right\vert _{i=1,\dots,M}$$

che con le condizioni iniziali:

$$\left. y_i(x_0) = y_{0i}\right\vert _{i=1,\dots,M}$$

Questo costituisce un problema di valori iniziali che ammette una soluzione unica, sotto opportune ipotesi di regolarità della funzione $f$ . Problemi in cui le condizioni non sono iniziali ma date in altri punti del dominio di integrazione costituiscono problemi di valori al contorno. I metodi numerici di integrazione dei problemi ai valori iniziali sono detto metodi al passo.
Con questi metodi si determinano in maniera approssimata i valori della $y$ in corrispondenza di un numero discreto di valori della $x$ :

$$x_{Iniziale}\equiv x_0 , x_1, x_2, \dots ,x_n, x_{n+1}, \dots , x_{Finale}$$

Il passo n-esimo di integrazione è dato da:

$$h_n=x_{n+1}-x_n$$

Solo per semplicità si porrà il passo di integrazione costante:

$$h=(x_{Fin}-h_{In})/N$$

in cui $N$ è il numero dei passi di integrazione.

Qualsiasi procedura numerica di integrazione al passo segue la stessa semplice idea di base: i differenziali $dy$ e $dx$ vengono riscritti nelle formule come incrementi finiti $\Delta x$ e $\Delta y$ . Moltiplicando le equazioni per $\Delta x$ si ottengono delle formule algebriche che danno la variazione delle funzioni $f_i$ , cioè della variabile dipendente $y$ , al variare, passo passo, $\Delta x$ della variabile indipendente. Facendo tendere a zero il passo di integrazione, la soluzione numerica, campionata in un numero crescente di punti, tenderà alla soluzione esatta del problema di partenza. Questo modo di procedere corrisponde al metodo di Eulero.