Errori numerici

Si hanno principalmente due tipi di errore negli schemi di soluzione delle equazioni differenziali ordinarie:

errore di troncamento

che è l'errore dovuto alla sostituzione della vera funzione con un polinomio. Ad esempio il generico tratto di funzione nel metodo di Eulero viene sostituito da una linea retta dando luogo ad ogni passo ad un errore $\circ(h^2)$ . Se, per esempio, l'intervallo di integrazione è dell'ordine di grandezza dell'unità , occorreranno $\circ(h^{-1})$ passi. Ciascun passo genererà un errore dell'ordine $\circ(h^2)$ e se nel caso peggiore gli errori dovessero essere tutti dello stesso segno, allora l'errore totale sarà dell'ordine $\circ(h^1)$ da cui discende il fatto che quello di Eulero è un metodo del primo ordine. Questo mostra come l'errore di troncamento nel metodo di Eulero sia direttamente proporzionale al passo di integrazione. Se ad esempio si volesse mantenere l'errore al di sotto di $10^{-6}$ allora sarebbero necessari $10^6$ passi di integrazione.

errore di arrotondamento

è dovuto alla precisione ``finita'' delle operazioni in virgola mobile eseguite dal calcolatore. Ogni calcolatore è caratterizzato da un numero $\epsilon$ che ne definisce la sensibilità , ossia il più piccolo valore che sommato ad un numero ne determina la variazione. Qualunque operazione in virgola mobile produce un errore di arrotondamento di ordine $\circ(\epsilon)$ . Supponendo di usare il metodo di Eulero su un intervallo unitario di integrazione, si dovranno effettuare $\circ(h^{-1})$ passi di integrazione, e quindi $\circ(h^{-1})$ operazioni in virgola mobile. Risulta evidente come l'errore massimo introdotto di arrotondamento risulterà $\circ(\epsilon / h)$

L'errore totale commesso nel metodo di Eulero sarà quindi:

$$e \simeq \frac{\epsilon}{h}\ +\ h$$

Si vede come l'errore sia influenzato dal passo di integrazione $h$ : per intervalli di integrazione ampi prevarrà l'errore di troncamento, infittendo i passi di integrazione, ossia aumentando in numero di operazioni in virgola mobile, prevarrà l'errore di arrotondamento. Il minimo della funzione $e(h)$ si ha per $h=\sqrt{\epsilon}$ e vale $e_0= 2 \sqrt{\epsilon}$ .