Instabilità numerica

Si consideri il seguente esempio.

$$y'=-\alpha \, y$$

con $\alpha > 0$ e con la condizione al contorno:

$$y(0) = 1$$

che ha la soluzione analitica:

$$y(x) = \exp(- \alpha x)$$

funzione monotona decrescente. Applicando il metodo di Eulero si avrà :

$$x_n= n\, h$$

$$y_{n+1}=y_n + ( - \alpha e^{- \alpha\, n\, h})\, h$$

$$y_{n+1}=y_n - \alpha\, h\, y_n$$

$$y_{n+1}=y_n(1 - \alpha\, h)$$

Si nota che se:

$$\vert 1- \alpha h\vert > 1$$

cioè :

$$h>2/\alpha$$

allora:

$$\vert y_{n+1}\vert>\vert y_n\vert$$

Succede che se il passo di integrazione è troppo grande la soluzione numerica diventa oscillatoria e di ampiezza crescente divergendo dalla soluzione vera. Questo descritto è un fenomeno di instabilità numerica.