Teoria idrodinamica della stabilità :
l'equazione di Orr-Sommerfeld

L'osservazione del fenomeno della turbolenza mostra come questo sia il risultato finale della nascita e dello sviluppo di piccole perturbazioni casuali in seno al flusso, tranne che nel caso ovvio in cui tale processo sia bypassato dalla presenza di forti perturbazioni.

Si può ovviamente immaginare come esistano circostanze limite al di sotto delle quali le perturbazioni risultano smorzate, ed al di sopra delle quali risultano amplificate. Il numero di Reynolds rappresenta quindi un parametro certamente discriminante nell'instaurarsi del regime turbolento, poiché come detto in 9.2.1 esso rappresenta il rapporto tra le forze d'inerzia e viscose che regolano il moto.

In generale interessa studiare il caso tridimensionale di nascita e sviluppo delle piccole perturbazioni ma, tenendo conto del teorema di Squire secondo il quale i disturbi bidimensionali sono sempre più instabili di quelli tridimensionali, lo studio del caso bidimensionale fornirebbe certamente una soluzione conservativa, oltre che più facilmente perseguibile. Le principali esemplificazioni introdotte saranno:

• studio del caso bidimensionale in quanto più critico del caso tridimensionale;
• l'ampiezza del disturbo di velocità è molto più piccola del valor medio. Inoltre l'ipotesi $V_0=0$ definisce l'approssimazione di flusso parallelo:
  

  $$u \ = U_0\ +\ \hat{u}$$

  $$v \ = \hat{v}$$

  $$p = P_0\ + \hat{p}$$

  $$\hat{u} << U_0$$

  $$\hat{p} << P_0$$

  
  
• i termini di disturbo di ordine $\circ(2)$ sono trascurabili;
• la velocità base del flusso $U_0$ è funzione della sola $y$ :
  $$U_0=U_0(y)$$

• la funzione di corrente del disturbo viene espressa in forma complessa:

  $$\psi(x,y,t)\ =\ \phi(y)\ \exp{\left[ i \alpha\ \left( x\ -\ ct\ \right)\right]}$$ (9.4)

  
  
  separando le variabili ed in forma sinusoidale. La forma del disturbo $\phi(y)$ ha carattere oscillatorio nel tempo $t$ e nella direzione $x$ se entrambe $\alpha$ e $\alpha c= \omega$ sono complessi. Si studia l'evoluzione temporale del disturbo se invece il numero d'onda è rappresentato da un valore reale $\alpha=\frac{2\pi}{\lambda}$ in cui $\lambda$ rappresenta la lunghezza d'onda del disturbo nella direzione $x$ , mentre $c$ è la velocità di fase complessa $c=(c_r + i\ c_i)$ . Se $(\alpha\ c_i) > 0$ allora si ha l'amplificazione nel tempo del disturbo e la condizione di instabilità. Discorso analogo vale nel caso in cui si consideri $\alpha$ complesso, con valutazione della eventuale amplificazione del disturbo oscillatorio nello spazio. Se si considerano sia $\alpha$ che $\omega$ reali allora il disturbo ha ampiezza di oscillazione costante sia nello spazio che nel tempo.

La componente secondo $x$ del disturbo di velocità sarà :

$$\hat{u}\ =\ \ensuremath{\frac{\partial \psi}{\partial y}}\ =\ \ensuremath{\frac{\partial \phi}{\partial y}} \exp{[i \alpha(x - ct)]}$$

$$\hat{u}=\phi' e^{(\cdot)}$$

mentre secondo $y$ :

$$\hat{v}\ =\ -\ensuremath{\frac{\partial \psi}{\partial x}}\ =\ -i \alpha\ \phi\ \exp{[i \alpha(x - ct)]}$$

$$\hat{v}=- i \alpha\ \phi\ e^{(\cdot)}$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \hat{u}&=&\phi' e^{(\cdot)}\\ \hat{v}&=&- i \alpha\ \phi\ e^{(\cdot)} \end{array} \right.$$ (9.5)

Si riprendono le equazioni di Eq. 3.1 Navier-Stokes applicate ad un flusso bidimensionale incompressibile:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \rho \left(\ \ensuremath... ...suremath{\frac{\partial P}{\partial y}}\ +\ \mu \ \nabla^2v \end{array} \right.$$ (9.6)

Sostituendo le espressioni delle componenti della veocità :

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \ensuremath{\frac{\partial ... ...rtial^2 \hat{v}}{\partial y^2}} \right)\\ [3pt] \\ \end{array}$$

$$\left( U_0\ensuremath{\frac{\partial U_0}{\partial x}} + \ensurem... ...\partial \hat{u}}{\partial y}}+\ensuremath{\frac{\partial \hat{u}}{\partial t}} =$$

$$\left[-\ensuremath{\frac{\partial P}{\partial x}}\frac{1}{\rho}+\... ...{u}}{\partial x^2}}+\ensuremath{\frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial y^2}}\right)$$

$$U_0\ensuremath{\frac{\partial \hat{v}}{\partial x}}+\hat{u}\ensur... ...\partial \hat{v}}{\partial y}}+\ensuremath{\frac{\partial \hat{v}}{\partial t}} =$$

$$-\ensuremath{\frac{\partial P}{\partial y}}\frac{1}{\rho}-\ensure... ...}}{\partial x^2}} + \ensuremath{\frac{\partial^2 \hat{v}}{\partial y^2}}\right)$$

I termini:

$$\left( U_0\ensuremath{\frac{\partial U_0}{\partial x}} + \ensurem... ...{\partial x^2}}+\ensuremath{\frac{\partial^2 U_0}{\partial y^2}}\right)\right]$$

$$\ensuremath{\frac{\partial P}{\partial y}}\frac{1}{\rho}=0$$

rappresentano l'equazione di Navier-Stokes alla componente media del flusso, quindi automaticamente soddisfatti. Il termine $U_0$ dipende per ipotesi dalla sola $y$ quindi $\ensuremath{\frac{\partial U_0}{\partial x}}=0$ . I termini del secondo ordine $\hat{u}\ensuremath{\frac{\partial \hat{u}}{\partial x}}$ , $\hat{v}\ensuremath{\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}}$ , $\hat{u}\ensuremath{\frac{\partial \hat{v}}{\partial x}}$ , $\hat{v}\ensuremath{\frac{\partial \hat{v}}{\partial y}}$ saranno come da ipotesi trascurati. Le equazioni di Navier-Stokes diventano:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \ensuremath{\frac{\parti... ...nsuremath{\frac{\partial^2 \hat{v}}{\partial y^2}}\right)\\ \end{array} \right.$$ (9.7)

A questo punto si possono sostituire le espressioni di $\hat{u}$ e $\hat{v}$ :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} -i \alpha c \phi' e^{(\cdot)} + U... ...)} - i \alpha \phi^{''} e^{(\cdot)} \right] \end{array}\right.$$

Svolgendo i calcoli:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} -i \alpha c \phi' e^{(\cdot)} + U... ...)} - i \alpha \phi^{''} e^{(\cdot)} \right] \end{array}\right.$$

e derivando la prima rispetto a $y$ e la seconda rispetto a $x$ :

$$\left\{ \begin{array}{rcr} -i \alpha c \phi^{''} e^{(\cdot)}... ...a \phi^{''} (i \alpha) e^{(\cdot)}\right]&& \end{array}\right.$$

semplificando, sottraendo la seconda equazione dalla prima e dividendo per $(i \alpha)$ :

$$- \alpha^2 c \phi + U_0 \alpha^2 \phi + c \phi^{''} - U_0 \phi^{'... ...\phi + \alpha^2 \phi^{''}+\alpha^2 \phi^{''} - \phi^{''''}) \frac{1}{i \alpha}$$

$$\phi (U_0 - c) \alpha^2 + \phi^{''} (U_0 - c) + \phi\ U_0^{''} = \nu ( - \alpha^4 \phi + 2 \alpha^2 \phi^{''}- \phi^{''''}) \frac{-i}{\alpha}$$

$$(U_0 - c)(\phi \alpha^2 + \phi^{''}) + \phi\ U_0^{''} = \frac{i \ \nu}{\alpha}\ ( \phi^{''''} - 2 \alpha^2 \phi^{''}+\alpha^4 \phi)$$

$$(U_0 - c)(\phi^{''} - \phi \alpha^2) - \phi\ U_0^{''} = \frac{-i \ \nu}{\alpha}\ ( \phi^{''''} - 2 \alpha^2 \phi^{''}+\alpha^4 \phi)$$ (9.8)

L'equazione così ottenuta può essere scritta in termini adimensionali:

$$\left\{ \begin{array}{ccccc} \phi^*=\displaystyle \frac{\phi... ... \displaystyle =\ \frac{1}{\mathcal{R}e}&&& \end{array}\right.$$

$$\frac{D}{U_m^2}\ \left[ (U_0 - c)(\phi^{''} - \phi \alpha^2) - \p... ...u}{\alpha}\ ( \phi^{''''} - 2 \alpha^2 \phi^{''}+\alpha^4 \phi)\frac{D}{U_m^2}$$

La Eq. 9.9 rappresenta l'equazione di Orr-Sommerfeld. $U_m$ e $D$ rappresentano rispettivamente la velocità massima nel flusso e una dimensione caratteristica del flusso medio (ad esempio la larghezza del condotto) oppure dello strato limite (ad esempio lo spessore dello strato limite). Essa non è di facile soluzione soprattutto nel caso di profilo $U_0(y)$ generico. Per una soluzione numerica della Eq. 9.9 si veda ad esempio [8] o anche [9].

Lin (1945) usò a tale proposito la via della teoria asintotica, mentre Wazzan (1968) percorse la strada della soluzione numerica diretta. Schubauer e Skramstad (1947) procedettero ponendo dei nastri metallici magnetici sottili nello strato limite laminare di una piastra piana. Eccitarono questi nastri facendoli vibrare al fine di produrre dei disturbi di lunghezza d'onda nota. L'accordo tra i dati teorici e sperimentali è mostrato in figura Fig. 9.2. Si può notare come ad un dato valore del $\mathcal{R}e_{\delta^*}$ basato sullo spessore di spostamento, corrispondano un valore minimo e massimo del parametro $\alpha\delta^*$ delimitanti una zona instabile di amplificazione delle perturbazioni.

Figura 9.2: Lastra piana: confronto tra i dati di Lin e Wazzan ottenuti con la teoria idrodinamica della stabilità e le misure sperimentali di Schubauer e Skramstad.

Dato che il valore di $\alpha\delta^*$ è generalmente sconosciuto, si considera la situazione limite $(\mathcal{R}e_{\delta^*})_{crit}=530$ e $\alpha\delta^*\approx0.3$ . La lunghezza d'onda dei disturbi instabili è grande rispetto allo spessore dello strato limite, infatti la lunghezza d'onda minima per l'instaurazione dell'instabilità nel caso di lastra piana:

$$\alpha \ \delta^* \ = \ \frac{2\ \pi}{\lambda} \ \delta^* \ = \ 0.3$$

riprendendo i dati della soluzione esatta di Blasius di Tab. 7.1:

$$\frac{2\ \pi}{\lambda} \ \frac{1.7172}{5} \ \delta \ = \ 0.3$$

$$\boxed{ \lambda \ \approx \ 7 \ \delta }$$

Queste onde prendono il nome di onde di Tollmein-Schlichting dal nome dei ricercatori che contribuirono allo sviluppo della teoria.

Sfortunatamente però l'insorgere della instabilità del flusso non coincide necessariamente con la transizione.