Calcolo dei parametri di strato limite

Ottenuti i valori numerici cercati si valutano le espressioni caratteristiche dello strato limite:

Spessore di strato limite $\delta$

Dalle tabelle dei dati numerici si vede che il $99\%$ della velocità indisturbata si raggiunge per $\eta=5$ .

$$\eta = y \sqrt{\frac{U}{\nu x}}$$

$$5 = \delta_{0.99}\sqrt{\frac{U}{\nu x}}$$

$$\delta_{0.99}\ =\ 5\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$

Spessore di spostamento $\delta^*$

$$\eta_{\delta^*}=\int_0^{\eta_{0.99}}{\left(1-\frac{u}{U}\right)d\eta}$$

$$\eta_{\delta^{*}}=\int_0^{\eta_{0.99}}{\left(1-\ensuremath{\frac{d\,f}{d\,\eta}}\right)d\eta}$$

$$\eta_{\delta^{*}}=\left[\eta- f\right]_0^{\eta_{0.99}}$$

$$\eta_{\delta^{*}}= 5 - 3.2828 = 1.7172$$

allora:

$$1.7172 = y \sqrt{\frac{U}{\nu x}}$$

$$\delta^* \ =\ 1.7172\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$

Spessore di quantità di moto $\vartheta$

$$\eta_{\vartheta}=\int_0^{\eta_{0.99}}{\frac{u}{U} \ \left(1-\frac{u}{U}\right)d\eta}$$

$$\eta_{\vartheta}=\int_0^{\eta_{0.99}}{\left(\ensuremath{\frac{d\,f}{d\,\eta}}-\left(\ensuremath{\frac{d\,f}{d\,\eta}}\right)^2\right)d\eta}$$

$$\eta_{\vartheta}=\int_0^{\eta_{0.99}}{\left( f'-f'^2\right)d\eta}$$

si integra per parti la:

$$\int{f'^2\ d\eta}= f'\ f\ -\ \int{f\ f''\ d\eta}$$

ma ricordando l'Eq. (7.2) di Blasius:

$$f\ f''\ + \ 2\ f'''\ =\ 0$$

allora:

$$\int{f'^2\ d\eta}= f'\ f\ +\ 2\ \int{f'''\ d\eta}$$

$$\int{f'^2\ d\eta}= f'\ f\ +\ 2\ f''$$

per cui:

$$\eta_{\vartheta}\ = \left[ f - f'f - 2 f''\right]_0^{\eta_{0.99}}$$

e sostituendo i valori numerici:

$$\eta_{\vartheta}\ = (3.2828 - 0.9915\ 3.2828\ - 2\ 0.0159) - (0 - 0 - 2\ 0.332)\ = 0.66$$

$$0.66 = y \sqrt{\frac{U}{\nu x}}$$

$$\vartheta \ =\ 0.66\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$ (7.5)

Frizione a parete $\tau_p$

$$\tau_p=\mu\left(\ensuremath{\frac{d\,u}{d\,y}}\right)_{y=0}$$

$$\tau_p=\frac{\mu \ U}{\delta} \ \left(\ensuremath{\frac{d\,u/U}{d\,y/\delta}}\right)_{y=0}$$

$$\tau_p=\frac{\mu \ U}{\delta} \ f''_{\eta=0}$$

$$\displaystyle \tau_p=\displaystyle \frac{\mu \ U}{\sqrt{\displaystyle \frac{\nu x}{U}}} \ (f_3)_{\eta=0}$$

$$\displaystyle \tau_p=\displaystyle 0.332\ U^{\frac{3}{2}}{\sqrt{\displaystyle \frac{\mu \rho}{x}}}$$

Coefficiente di attrito $C_f$ della piastra

$$C_f = \frac{\tau_p}{\frac{1}{2}\rho \ U^2}$$

$$C_f = 0.664\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$$

Tabella 7.1: Parametri di s.l. Blasius.

width 3pt	width 3pt	width 3pt
width 3pt	width 3pt	width 3pt
width 3pt	width 3pt	width 3pt
width 3pt				width 3pt
width 3pt		BlueBlasius		width 3pt
width 3pt				width 3pt
width 3pt				width 3pt
width 3pt	$\delta_{0.99}$	$$5 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U} }$$	Spessore di strato limite	width 3pt
width 3pt				width 3pt
width 3pt	$\delta^*$	$$1.7172\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	Spessore di spostamento	width 3pt
width 3pt				width 3pt
width 3pt	$\vartheta$	$$0.66\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	Spessore di quantità di moto	width 3pt
width 3pt				width 3pt
width 3pt	$\tau_p$	$$0.332\ U^{\frac{3}{2}}{\sqrt{\displaystyle \frac{\mu \rho}{x}}}$$	Frizione a parete	width 3pt
width 3pt				width 3pt
width 3pt	$C_f$	$$0.664\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$$	Coefficiente di attrito	width 3pt
width 3pt				width 3pt