Flusso incompressibile

Il flusso incompressibile ($\rho=cost$ ) è caratterizzato dalla divergenza nulla del vettore velocità :

$$\nabla \vec{V}\ =\ 0$$

Riprendendo la Eq. (2.10):

$$\displaystyle \left. \ensuremath{\frac{\partial (\rho\ u_i)}{\par... ...\ \ensuremath{\frac{\partial \tau{ij}}{\partial x_j}} \right\vert _{(i=1,2,3)}$$

e la Eq. (2.17):

$$\displaystyle \tau_{ij}\ =\ \mu\ \left(\ \displaystyle \ensurema... ... \delta_{ij}\ \nabla \vec{V}\ \right)\ + \zeta \ \delta_{ij} \ \nabla \vec{V}$$

che si semplifica:

$$\displaystyle \tau_{ij}\ =\ \mu\ \left(\ \displaystyle \ensurema... ... u_i}{\partial x_j}}\ +\ \ensuremath{\frac{\partial u_j}{\partial x_i}}\right)$$

ottenendo così :

$$\displaystyle \left. \ensuremath{\frac{\partial (\rho\ u_i)}{\par... ...ath{\frac{\partial u_j}{\partial x_i}}\right) \right] \right\vert _{(i=1,2,3)}$$

espandendo la notazione tensoriale:

$$\begin{split}\rho \left(\ \ensuremath{\frac{\partial u_i}{\pa... ...3 \partial x_i }}\ \right] \right\vert _{(i=1,2,3)} \end{split}$$

e riorganizzando:

$$\begin{split}\rho \left(\ \ensuremath{\frac{\partial u_i}{\pa... ...{\nabla \vec{V}=0} \right] \right\vert _{(i=1,2,3)} \end{split}$$

quindi:

$$\begin{split}\rho \left(\ \ensuremath{\frac{\partial u_i}{\pa... ...}{\partial x_3^2}} \right] \right\vert _{(i=1,2,3)} \end{split}$$

e in definitiva la forma scalare:

$$\boxed{ \begin{array}{rcl}\\ [3pt] \displaystyle \rho \left(\ \en... ...uremath{\frac{\partial u_3}{\partial x_3}}\ & = & \ 0 \\ [3pt] \\ \end{array} }$$ (3.1)

e vettoriale (assumendo l'espressione espansa della derivata totale della velocità ):

$$\boxed{ \begin{array}{rcl}\\ [3pt] \displaystyle \rho \left( ... ...isplaystyle \nabla \vec{V}\ & = & \ 0 \\ [3pt] \\ \end{array}}$$ (3.2)

$$\boxed{ \begin{array}{rcl}\\ [3pt] \displaystyle \rho \left( ... ...isplaystyle \nabla \vec{V}\ & = & \ 0 \\ [3pt] \\ \end{array}}$$ (3.3)

Le Eq. (3.1) costituiscono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali nelle incognite $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , $P$ , per il quale non è tuttora possibile stabilire l'esistenza dell'unicità della soluzione.