Cinematica dei fluidi: relazioni tra sforzi tangenziali e velocità

Un fluido si definisce newtoniano quando la sua viscosità non varia con la velocità. Matematicamente questi fluidi presentano un legame di proporzionalità diretta tra il tensore degli sforzi viscosi e il tensore delle velocità di deformazione; la costante di proporzionalità è detta viscosità.
Lo sforzo tangenziale scambiato tra due elementi di area unitaria di normale $\vec{n_i}$ in direzione $\vec{n_j}$ adiacenti è direttamente proporzionale attraverso la viscosità dinamica $\mu$ al gradiente di velocità tra gli stessi.

$$\tau_{ij}\ =\ \mu \ensuremath{\frac{\partial u_j}{\partial x_i}}$$

In genere il campo di velocità in seno ad un fluido può essere espresso in termini di sviluppo in serie nell'intorno del punto e nell'istante considerati:

$$\vec{V}(P)=(u_1(x(t),y(t),z(t),t),u_2(x(t),y(t),z(t),t),u_3(x(t),y(t),z(t),t))$$

Nell'intorno di un dato punto $P_0$ nell'istante $t_0$ con $i=1,\dots ,3$ :

$$u_i(P,t_0)=u_i(P_0)+\left(\ensuremath{\frac{\partial u_i}{\partia... ...t(\ensuremath{\frac{\partial u_i}{\partial x_3}}\right)_{P_0}x_3+\circ(\cdots)$$

In notazione tensoriale:

$$\left. u_i(P,t_0)=u_i(P_0)+\left(\ensuremath{\frac{\partial u_i}{\partial x_j}}\right)_{P_0}x_j+\circ(\cdots)\right\vert _{(i=1,2,3)}$$

ossia:

$$\displaystyle \vec{V}(P)=\vec{V}(P_0)+ \left( \begin{array}{... ...\partial x_3}} \end{array}\right)\ \vec{P}\ + \ \circ(\cdots)$$

Il tensore sopra non è necessariamente simmetrico. Esso può comunque essere visto come somma di due parti, una simmetrica ed una antisimmetrica.

$$u_1(P,t_0)\ = \ u_1(P_0)\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_1}}\r... ...frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_1+$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_2}}\r... ...ac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_2}}\right)_{P_0}x_2\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_3}}\r... ...ac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_3}}\right)_{P_0}x_3\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_2}{\partial x_1}}\r... ...ac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_2}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_2\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_3}{\partial x_1}}\r... ...\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_3}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_3$$

Riordinando:

$$u_1(P,t_0)\ = \ u_1(P_0)\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_1}}+\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_1+$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_2}}\r... ...ac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_2}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_2\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_3}}\r... ...ac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_3}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_3\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_2}}\r... ...ac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_2}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_2\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_3}}\r... ...\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_3}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_3$$

$$u_1(P,t_0)\ = \ u_1(P_0)\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_1}}+\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_1+$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_2}}+\ensuremath{\frac{\partial u_2}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_2\ +$$

$$\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_3}}+\ensuremath{\frac{\partial u_3}{\partial x_1}}\right)_{P_0}x_3\ +$$

$$\frac{1}{2}\overbrace{\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\part... ...}-\ensuremath{\frac{\partial u_2}{\partial x_1}}\right)_{P_0}}^{-\omega_3}x_2 +$$

$$\frac{1}{2}\overbrace{\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\part... ..._3}}-\ensuremath{\frac{\partial u_3}{\partial x_1}}\right)_{P_0}}^{\omega_2}x_3$$

In base alle osservazioni sull'espressione del rotore della velocità e l'Eq. (C.1)

$$u_1(P,t_0)\ = \ u_1(P_0)\ +$$

$$\overbrace{\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\part... ...h{\frac{\partial u_1}{\partial x_1}}\right)_{P_0}}^{\dot{\varepsilon_{11}}}x_1+$$

$$\overbrace{\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\part... ...math{\frac{\partial u_2}{\partial x_1}}\right)_{P_0}}^{\dot{\gamma_{12}}}x_2\ +$$

$$\overbrace{\frac{1}{2}\left(\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\part... ...math{\frac{\partial u_3}{\partial x_1}}\right)_{P_0}}^{\dot{\gamma_{13}}}x_3\ -$$

$$\frac{1}{2}\ \omega_3\ x_2 +$$

$$\frac{1}{2}\ \omega_2\ x_3$$

Compaiono a questo punto a secondo membro i termini del prodotto vettoriale (Cf.ta Eq. (C.1)):

$$\vec{\omega} \wedge (P-O)\ = \ \left\vert \begin{array}{ccc... ...mega_1&\omega_2&\omega_3\\ x_1&x_2&x_3 \end{array}\right\vert$$

che rappresenta la velocità di rotazione rigida del punto in esame intorno al polo $O$ .
Si riconoscono inoltre tra parentesi i termini di velocità di deformazione dell'elemento fluido: allungamento e scorrimento (Cf.ta Fig. C.1).
L'espressione definitiva della velocità nell'intorno del punto in esame sarà quindi:

$$\vec{V}\ =\ \vec{V_0}\ +\ \frac{1}{2}\ \vec{\omega}\ \wedge\... ...amma_{32}} & \dot{\varepsilon_{33}} \end{array}\right)\ (P-O)$$

ponendo:

$$\vec{\Omega}\ =\ \frac{1}{2}\ \vec{\omega}$$

si ottiene:

$$\fbox{$ \vec{V}\ =\ \vec{V_0}\ +\ \vec{\Omega}\ \wedge\ (P-O)\ +\... ...31}} & \dot{\gamma_{32}} & \dot{\varepsilon_{33}} \end{array} \right)\ (P-O) $}$$ (2.16)

dalla quale risultano evidenti le componenti di velocità di traslazione rigida, di rotazione rigida e le deformazioni dovute alla dilatazione o contrazione (le $\dot{\varepsilon}$ ) e le distorsioni (le $\dot{\gamma}$ ) dell'elemento fluido in considerazione.
Il tensore della velocità di delle deformazioni nella Eq. (2.16) è simmetrico e suscettibile di diagonalizzazione rispetto ad un riferimento principale. La traccia di tale tensore, ossia la somma degli elementi sulla diagonale, è un invariante e rappresenta la divergenza della velocità .

$$\ensuremath{\frac{\partial u_1}{\partial x_1}}\ +\ \ensuremath{\f... ...\ +\ \ensuremath{\frac{\partial u_3}{\partial x_3}}\ =\ Tr\ =\ \nabla \vec{V}$$

Questa rappresenta la dilatazione subita dal volumetto di fluido considerato nell'unità di tempo. Se questo volumetto è inizialmente di forma sferica, a causa della caratteristica della deformazione, ossia dal valore assunto dagli autovalori, in generale potrà trasformarsi in un ellissoide. Se il fluido è incompressibile la $\nabla \vec{V}=0$ , non si avranno variazioni in volume^2.8 e le componenti di sforzo viscoso saranno dovute solo alle velocità di scorrimento $\dot{\gamma}_{ij}$ .
Gli sforzi viscosi saranno legati ovviamente al tensore delle velocità di deformazione e non al movimento di corpo rigido del fluido.