Moto impulsivo: I problema di Stokes

Si studia il problema di una lastra piana parallela all'asse $x$ che viene istantaneamente portata ad una velocità $U$ , che poi rimane costante, al tempo $t=0$ . Si tratterà sempre di flusso incompressibile senza peso. Le Eq. (3.1):

$$\begin{array}{rcl}\\ [3pt] \displaystyle \rho \left(\ \ensur... ...ac{\partial w}{\partial z}}\ & = & \ 0 \\ [3pt] \\ \end{array}$$

vanno semplificate introducendo le seguenti ipotesi:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u&=&u(y,t) \\ [3pt]\\ v&=&0 \\ [3pt]\\ w&=&0 \\ [3pt]\\ p&=&P(y,t) \end{array}\right.$$

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho \ \ensuremath{\frac{\p... ...aystyle -\ensuremath{\frac{\partial P}{\partial y}} \end{array}$$

cioè :

$$\left\{ \begin{array}{rcl}\\ [3pt] \displaystyle \rho \ \ens... ...partial P}{\partial y}}\ & =&0 \\ [3pt] \\ \end{array}\right.$$

Dalla seconda si deduce che il campo di pressione è ovunque costante e pari a quello del fluido in quiete. La prima equazione è quella che deve essere risolta con le condizioni iniziali:

Blue$t < 0$

$u=0$

Blue$t \ge 0$

$u=U$	$y=0$
$u=0$	$y=\infty$

L'equazione:

$$\ensuremath{\frac{\partial u}{\partial t}}\ =\ \nu \ \ensuremath{\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}$$

va risolta ricorrendo alla adimensionalizzazione delle variabili ed al teorema di Buckingam (vedi App. ).

Si vede che la relazione scritta sopra lega quattro grandezze:

$$f(u, \nu, y, t)=0$$

ma a loro volta queste dipendono solo da due grandezze fondamentali:

$$f(u,\nu, y, t)\rightarrow \ [L] \ [T]$$

lunghezza e tempo. In base al teorema di Buckingam l'equazione sopra può essere scritta in funzione di due gruppi adimensionali opportunamente scelti:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle u^*&=&\displaystyle \fra... ...isplaystyle \eta&=&\displaystyle \frac{y}{2\sqrt{\nu\ t}}\\ \end{array} \right.$$ (5.1)

Sottintendendo che la $u$ sia adimensionata, tralasciando cioè il simbolo $*$ :

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \ensuremath{\frac{\partial ... ...th{\frac{d^2\, u}{d\, \eta^2}}\ \frac{1}{4\ \nu\ t} \end{array}$$

l'equazione diventa:

$$\ensuremath{\frac{d^2\, u}{d\, \eta^2}}\ +\ 2\ \eta \ \ensuremath{\frac{d\,u}{d\,\eta}}\ = \ 0$$ (5.2)

con le condizioni al contorno:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u(\eta=\infty) & = & 0 \\ [3pt]\\ u(\eta=0) & = & 1 \end{array}\right.$$

Ci si è ricondotti anche in questo caso (Cf.ta Sez. 4.6) ad una equazione lineare ma omogenea. Le soluzioni fornite forniscono un profilo unico di velocità che si riproduce similmente a se stesso nel tempo. Infatti la $u$ sarà una funzione di $\eta$ , a sua volta funzione nell'istante della $y$ e scalata con $\sqrt{\nu \ t}$ . Si procede come nella Sez. 4.6.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u'&=&y \\ [3pt]\\ y'\ +\ 2\ \eta\ y &=&0 \end{array}\right.$$

Si cerca una funzione ausiliaria $I(\eta)$ tale che $d[I(\eta)\ y]$ sia il differenziale del primo membro moltiplicato per la $I(\eta)$ stessa:

$$dy\ + \ 2\ \eta\ y\ d\eta \ =\ 0$$

$$y\ dI\ + \ I\ dy\ = I \ dy\ + \ 2\ I\ \eta\ y\ d\eta$$

$$y\ dI\ = 2\ I\ \eta\ y\ d\eta$$

Imponendo $y\neq 0$ :

$$dI\ = 2\ I\ \eta\ d\eta$$

$$\frac{dI}{I}\ =\ 2\ \eta\ d\eta$$

che risolta fornisce a meno di una costante:

$$\ln I \ =\ \eta^2$$

quindi la $I(\eta)$ cercata vale:

$$I \ =\ e^{\eta^2}$$

Sostituita nella equazione da risolvere:

$$e^{\eta^2} \ dy +\ y\ e^{\eta^2} \ 2 \ \eta\ d\eta \ =\ 0$$

$$d[y\ e^{\eta^2}] \ =\ 0$$

$$y\ e^{\eta^2} \ =\ \mathcal{C}$$

$$y\ =\ \mathcal{C}\ e^{-\eta^2}$$

Ricordando che $y=u'$ :

$$u'\ =\ \mathcal{C}\ e^{-\eta^2}$$

che integrata fornisce il profilo adimensionato cercato:

$$u^* \ = \ u^*(\eta=0) \ + \ \int_0^\eta{\mathcal{C}\ e^{-z^2}dz }$$

Tenendo conto delle condizioni al contorno per $\eta=0$ si ottiene:

$$u^* \ = \ 1 \ + \ \int_0^\eta{\mathcal{C}\ e^{-z^2}dz }$$

La costante $\mathcal{C}$ può essere calcolata imponendo la condizione al contorno per $\eta \rightarrow \infty$ e riconoscendo nell'integrale l'espressione della funzione errore erf$(\eta)$ (Vedi [2] [585], [590], e Tav. 1045).

   erf$$(\eta)\ =\ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\eta}{e^{-z^2}dz}$$

$$\lim_{\eta \rightarrow \infty}\ u^*(\eta) \ = \ 1 \ +\ \lim_{\eta \rightarrow \infty} \int_0^\eta{\mathcal{C}\ e^{-z^2}dz }\ =\ 0$$

$$1 \ +\ \mathcal{C}\ \frac{\sqrt{\pi}}{2} \lim_{\eta \rightarrow \infty}\ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\eta{ e^{-z^2}dz }\ =\ 0$$

$$1 \ +\ \mathcal{C}\ \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ \sqrt{2} \lim_{\eta \ri... ...y}\ \ \frac{1}{\sqrt{2}}\ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\eta{ e^{-z^2}dz }\ =\ 0$$

$$1 \ +\ \mathcal{C}\ \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ \sqrt{2}\ \frac{1}{2}\ ... ...ac{1}{\sqrt{2}}\ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\eta}^{+\eta}{ e^{-z^2}dz }\ =\ 0$$

$$1 \ +\ \mathcal{C}\ \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ \sqrt{2}\ \lim_{\eta \r... ...rrow \infty}\ \frac{1}{\sqrt{2\ \pi}} \int_{-\eta}^{+\eta}{ e^{-z^2}dz }\ =\ 0$$

$$1 \ +\ \mathcal{C}\ \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ \sqrt{2}\ \lim_{\eta' \... ...\ \pi}} \int_{-\eta'}^{+\eta'}{ \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt }\ =\ 0$$

$$1 \ +\ \mathcal{C}\ \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ \lim_{\eta' \rightarrow... ...\ \frac{1}{\sqrt{2\ \pi}} \int_{-\eta'}^{+\eta'}{ e^{-\frac{t^2}{2}}dt }\ =\ 0$$

$$\mathcal{C}\ =\ -\ \frac{2}{\sqrt{\pi}}$$

Si ottiene allora che il profilo della velocità adimensionata è dato proprio dalla funzione $u^*=$erfc$(\eta)$ :

$$\boxed{ u^*(\eta)\ =\ 1\ -\ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \ \int_0^\eta{ e^{-z^2}dz } }$$ (5.3)

Figura 5.1: Andamento del profilo di velocità adimensionata.

ossia:

erfc$$(\eta)=1 -$$   erf$$(\eta)$$

Si può a questo punto calcolare lo spessore dello strato limite. Questo corrisponde per definizione alla distanza dal piano alla quale la velocità diventa pari al $99\%$ dell avelocità di riferimento indisturbata. In questo caso la velocità di riferimento del fluido è nulla, dato che è la piastra a muoversi, per cui si farà riferimento alla distanza alla quale la velocità diventa lo $1\%$ del valore di riferimento.

$$u^*=\frac{u}{U}=1-erf(\eta)=0.01$$

$$erf(\eta)=0.99$$

Dalla Tab.1045 di [2] si ricava che:

$$\frac{1}{\sqrt{2\ \pi}} \int_{-x}^{+x}{e^{-\frac{t^2}{2}}dt}=$$erf$$\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\Rightarrow x=2.575$$

quindi:

$$\eta_{0.01}=\frac{x}{\sqrt{2}}=1.821$$

Lo spessore di strato limite si otterrà dalla:

$$\eta_{0.01}=\frac{y_{0.01}}{2\ \sqrt{\nu \ t}}$$

in cui si pone $\delta_{0.01}=y_{0.01}$ . In definitiva:

$$\boxed{ \delta_{0.01}=3.64 \ \sqrt{\nu \ t} }$$ (5.4)

Figura 5.2: Andamento grafico di erf(x).

Lo spessore dello strato limite aumenta con la radice quadrata del tempo.

Figura 5.3: Ingrandimento andamento grafico di erf(x).