Tubo con flusso alla Poiseuille

Si semplificheranno le Eq. (3.4) con le ipotesi:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u_z&=&u_z(r)\\ u_\theta&=&0\\ u... ...emath{\frac{\partial P}{\partial z}}&\neq&0 \end{array}\right.$$

Figura 4.6: Il tubo in coordinate cilindriche.

$$\begin{array}{rcl} 0&=&\displaystyle -\ensuremath{\frac{\par... ...ath{\frac{\partial u_z}{\partial z}}&=&0\\ [3pt]\\ \end{array}$$

dalle quali si vede che la pressione è funzione della sola coordinata z:

$$\ensuremath{\frac{d\,P}{d\,z}}=\mu \left( \ensuremath{\frac{\part... ...{\partial r^2}}+\frac{1}{r}\ensuremath{\frac{\partial u_z}{\partial r}}\right)$$

L'equazione sopra ha senso solo se:

$$\ensuremath{\frac{d\,P}{d\,z}}=\mu\left( \ensuremath{\frac{\parti... ...ial r^2}}+\frac{1}{r}\ensuremath{\frac{\partial u_z}{\partial r}}\right) =cost$$

Si vede quindi che la pressione ha un andamento lineare, decrescente se il fluido si muove nel verso positivo delle $z$ .

$$P=k_1\ z + k_2$$

Se si ragiona in termini di pressione relativa si può porre $k_2=0$

$$P=k_1\ z$$

con:

$$k_1=\ensuremath{\frac{d\,P}{d\,z}}$$

Si può ricavare l'andamento della velocità :

$$\ensuremath{\frac{\partial^2 u_z}{\partial r^2}}+\frac{1}{r}\ensu... ...tial u_z}{\partial r}}=\ensuremath{\frac{d\,P}{d\,z}}\frac{1}{\mu}=\mathcal{B}$$

con le condizioni al contorno di aderenza a parete e di simmetria cilindrica del profilo di velocità :

$$\left\{ \begin{array}{lll} u_z(R)&=&0 \\ [3pt]\\ \displayst... ...math{\frac{d\,u_z}{d\,r}}\right)_{r=0}&=&0 \end{array}\right.$$

L'equazione sopra può essere ricondotta ad una ``equazione lineare''^4.1 del primo ordine:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} y&=&\displaystyle \ensuremath{\fr... ...&\displaystyle -\frac{1}{r}\ y +\mathcal{B} \end{array}\right.$$

$$y' +\frac{1}{r}\ y =\mathcal{B}$$

$$dy + \frac{1}{r}\ y \ dr = \mathcal{B}\ dr$$

L'equazione lineare va risolta cercando una funzione ausiliaria $I(r)$ che moltiplicata per il primo membro dell'equazione dia un differenziale esatto:

$$d[I(r)y]= I(x) dy + I(x)\ \frac{1}{r}\ y \ dr$$

quindi:

$$y \ dI(r) + I(r)\ dy = I(x)\ dy + I(x)\ \frac{1}{r}\ y \ dr$$

$$y \ dI(r) = I(x)\ \frac{1}{r}\ y \ dr$$

e imponendo la condizione $y\neq 0$ :

$$\frac{dI(r)}{I(r)}\ =\ \frac{dr}{r}$$

che integrata da:

$$I(r)\ =\ r$$

Moltiplicando l'equazione di partenza per $I(r)$ :

$$r\ dy\ +\ r\ \frac{1}{r}\ y\ dr\ =\ r\ dr\ \mathcal{B}$$

$$d[ry]\ =\ r\ dr\ \mathcal{B}$$

che viene facilmente integrata:

$$r\ y\ =\ \mathcal{B}\ \frac{r^2}{2}\ +\ C$$

$$y\ =\ \mathcal{B}\ \frac{r}{2}\ +\ \frac{C}{r}$$

La costante di integrazione viene calcolata imponendo l'annullamento della derivata della velocità , ossia $y$ , per $r \rightarrow 0$ . Si vede che deve essere $C=0$ .

$$y\ =\ \mathcal{B}\ \frac{r}{2}$$

Procedendo alla successiva integrazione:

$$u_z\ =\ \mathcal{B}\ \frac{r^2}{4}\ +\ C$$

La costante $C$ si ottiene imponendo l'annullarsi della velocità a parete
$u_r(R)=0$ :

Figura 4.7: Profilo di velocità nel tubo Poiseuille.

$$u_z\ =\ \frac{\mathcal{B}}{4}\ \left( r^2\ -\ R^2\right)$$

$$\boxed{u_z\ =\ \frac{1}{4\mu}\ \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,z}}\ \left( r^2\ -\ R^2\right)}$$ (4.5)

La velocità massima si ha ovviamente al centro del condotto:

$$U_z^{MAX}\ =\ -\ \frac{1}{4\mu}\ \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,z}}\ R^2$$

La velocità media nel condotto:

$$\pi\ R^2 \ \bar{U}\ =\ \frac{1}{4\mu}\ \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,z}}\ \int_0^R{[(r^2-R^2)\ 2\ \pi\ r\ ] dr}$$

che elaborata porta a:

$$\bar{U}\ =\ \frac{U_z^{MAX}}{2}$$

Il valore dello sforzo tangenziale a parete:

$$\tau_p \ =\ \mu \ \left( \ensuremath{\frac{d\,u_z}{d\,r}} \right)_{r=R}$$

$$\tau_p \ =\ \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,z}}\ \frac{R}{2}$$

Sostituendo in questa l'espressione del gradiente di pressione ricavato dall'espressione della velocità massima presa in valore assoluto:

$$\tau_p \ =\ \frac{4 \bar{U} \mu}{R}$$