Soluzione

La soluzione si ottiene per via numerica sfruttando il codice Octave utilizzato in precedenza, modificando opportunamente le condizioni al contorno.

Figura 8.5: Soluzione campo di moto al punto di arresto.

L'analisi dei risultati numerici permette di ottenere l'espressione dello spessore di strato limite $y=\delta_{0.99}$ .

Dalla tabella sopra si vede che:

$$u/U=(xf')/(kx)=f'/k=F'=0.99$$

si ha in corrispondenza di:

$$\eta=\delta_{0.99}\sqrt{\frac{k}{\nu}}=2.4$$

per cui:

$$\delta_{0.99}=2.4\sqrt{\frac{\nu}{k}}$$ (8.7)

Si vede come lo spessore sia costante^8.3 ed indipendente dalla $x$ . Si vede anche come il suo valore dipenda:

• dal fenomeno convettivo (rappresentato da $k$ ) che tende a spingere verso la superficie solida
• dal fenomeno diffusivo (legato alla viscosità $\nu$ ) che tende a diffondere verso l'esterno

la quantità di moto.

Questi due contributi si equilibrano dando vita ad uno strato limite di spessore costante più o meno spesso secondo la predominanza dei fenomeni viscosi diffusivi o convettivi. Sia elaborando ulteriormente i risultati numerici, che osservando la Fig. 8.5, si nota che $u$ non tende asintoticamente a $\eta$ . Si perviene invece ai seguenti risultati:

$$\eta \rightarrow \infty \left\{ \begin{array}{rcl} F &\sim& ... ...im& \displaystyle 0.65 \sqrt{\frac{\nu}{k}} \end{array}\right.$$

Come sopra detto la prima non concorda con l'ultima delle c.c. (8.6). L'espressione dello spessore di spostamento $\delta^*$ viene ricavata integrando numericamente i risultati ottenuti.

Figura 8.6: Openoffice: integrazione risultati numerici.

Si osserva come la presenza dello strato limite influenzi il campo di moto irrotazionale ed il particolare la componente $v$ . Questa influenza era stata completamente trascurata nell'adottare la (8.4) come funzione di corrente nel campo esterno (ipotesi tra l'altro alla base dello studio dell'intorno del punto di arresto in aerodinamica). La modifica del campo esterno indotta dalla presenza dello strato limite consiste in una traslazione rigida del campo di velocità all'esterno del contorno pari proprio al valore dello spessore di spostamento $\delta^*$ , ma non ne influenza la distribuzione.