Equazione di Von Kàrmàn: metodo di Thwaites

Il metodo integrale di Thwaites è basato sull'equazione di Von Kàrmàn e sull'assunzione di valori numerici empirici che trovano riscontro nella realtà. È in molti casi un metodo molto accurato. Dato il campo esterno $U(x)$ si vogliono determinare $\vartheta(x)$ , $\delta^*(x)$ e $C_F(x)$ . Si riprenda l'Eq. (6.5):

$$\frac{C_f}{2} \ =\ \frac{\vartheta}{U_e} \ensuremath{\frac{d\,U_e}{d\,x}}\ (H +\ 2) \ +\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta}{\partial x}}$$

Volendo integrarla per ottenere l'andamento dello spessore di quantità di moto $\vartheta$ la si riscrive:

$$\ensuremath{\frac{\partial \vartheta}{\partial x}} \ = \ \frac{C_f}{2} \ - \ \frac{\vartheta}{U_e} \ensuremath{\frac{d\,U_e}{d\,x}}\ (H +\ 2)$$

Si dovrà cercare di mettere in relazione il fattore di forma $H$ e il coefficiente di attrito a parete $C_F$ con $\vartheta$ . L'adimensionalizzazione di $y$ avverrà ora tenendo in considerazione lo spessore di quantità di moto $\vartheta$ :

$$\eta = \frac{y}{\vartheta}$$

mentre la velocità adimensionata resterà :

$$U = \frac{u}{U_e}$$

Il profilo di velocità nello strato limite è caratterizzato da:

• $\left.\ensuremath{\frac{\partial^2 U}{\partial\eta^2}}\right\vert _{\eta=0}$ curvatura del profilo a parete, legata alla derivata della velocità esterna $\ensuremath{\frac{d\,U}{d\,x}}$ .
  $$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left.\ensuremath{\frac{\pa... ...vartheta^2}{\nu} \ \ensuremath{\frac{d\,U_e}{d\,x}} \end{array}$$
  La curvatura (cambiata di segno) a parete viene chiamata:

  $$\quad \lambda \ = \ \frac{\vartheta^2}{\nu} \ \ensuremath{\frac{d\,U_e}{d\,x}}$$ (6.14)

  
  

• $\left.\ensuremath{\frac{\partial u}{\partial \eta}}\right\vert _{\eta=0}$ pendenza del profilo a parete, legata al coefficiente d'attrito $C_F$ :
  $$\begin{array}{rcl} \displaystyle \left.\ensuremath{\frac{\pa... ...laystyle \frac{\vartheta \ U_e}{\nu}\ \frac{C_F}{2} \end{array}$$
  La pendenza del profilo di velocità a parete sarà rappresentata dal parametro $\ell$ :
  $$\ell \ = \ \frac{\vartheta \ U_e}{\nu}\ \frac{C_F}{2}$$

Thwaites assunse che i parametri $\ell$ e $H$ fossero unicamente funzioni di $\lambda$ parametro di Thwaites:

$$H \ = \ H[\lambda(x)] \quad \quad \ell \ = \ \ell[\lambda(x)]$$

Relazioni usate per il calcolo di $H$ e $\ell$ , una volta ottenuto $\vartheta$ e quindi $\lambda$ sono quelle di Cebecy & Bradshaw:

$$\begin{array}{lcl} \mbox{Moti accelerati}& 0 \leq \lambda < 0... ...ac{0.0731}{\lambda+0.14} + 2.088 \end{array}\right. \end{array}$$ (6.15)

Si moltiplichi per $U\ \vartheta/\nu$ l'equazione di Von Kàrmàn:

$$\frac{U_e \vartheta}{\nu}\ensuremath{\frac{\partial \vartheta}{\p... ...2} \ - \ \frac{\vartheta^2}{\nu} \ensuremath{\frac{d\,U_e}{d\,x}}\ (H \ +\ 2)$$

$$\frac{U_e \vartheta}{\nu} \ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta}{\partial x}} \ =\ \ell \ -\ \lambda \ (H \ +\ 2)$$

$$\frac{U_e}{\nu} \ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\partial x}} \ = \ 2 \ [\ell \ -\ \lambda \ (H \ +\ 2)]$$

$$\frac{U_e}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\partial x}} \ = \ F(\lambda)$$

A questo punto entra in gioco una ulteriore assunzione, empirica, di Thwaites basata su riscontri sperimentali:

$$\frac{U_e}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\partial x}} \ =\ 0.45 \ -\ 6 \ \lambda$$ (6.16)

Con l'espressione di $\lambda$ :

$$\frac{U_e}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\partial... ...\ -\ 6 \ \frac{\vartheta^2}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial U_e}{\partial x}}$$

e moltiplicando per $U_e^5$ :

$$\frac{U_e^6}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\parti... ... \ \frac{U_e^5 \vartheta^2}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial U_e}{\partial x}}$$

$$\frac{U_e^6}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\parti... ...rtheta^2}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial U_e}{\partial x}} \ =\ 0.45 \ U_e^5$$

$$\frac{1}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial (U_e^6\vartheta^2)}{\partial x}} \ =\ 0.45 \ U_e^5$$

Questa equazione può essere facilmente integrata:

$$\left[\frac{1}{\nu}\ U_e^6\vartheta^2\right]^x_0 \ =\ \int_0^x{0.45 \ U_e^5 \ dx}$$

Al punto di arresto, $x=0$ è $U_e=0$ :

$$\frac{1}{\nu}\ U_e^6\vartheta^2 \ =\ \int_0^x{0.45 \ U_e^5 \ dx}$$

In definitiva lo spessore di quantità di moto risulta:

$$\boxed{ \vartheta^2 \ =\ \frac{0.45 \ \nu}{U_e^6} \ \int_0^x{U_e^5 \ dx} }$$ (6.17)

Una volta noto $\vartheta(x)$ è possibile ottenere $\lambda(x)=\frac{\vartheta^2(x)}{\nu}\ensuremath{\frac{d\,U_e(x)}{d\,x}}$ , $\ell(x)$ ed $H(x)$ dalle (6.15), e finalmente lo spessore di spostamento $\delta^*(x)=H(x)\vartheta(x)$ che permette di ricalcolare il campo di moto esterno, e il coefficiente di attrito $C_f=2\frac{\nu}{U_e(x)\vartheta(x)}\ell(x)$ . Osservando l'andamento dello sforzo a parete $\tau_P(x)$ si cercherà di determinare il punto di separazione.

Tabella 6.5: Utilizzo del metodo di Thwaites.