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Parametri di strato limite per piastra piana

Si ricaveranno i parametri di strato limite per poter confrontare il risultati del metodo di Polhausen con la soluzione esatta di Blasius.

Si ricaveranno lo spessore di spostamento, di quantità di moto e la frizione a parete. Questi verranno poi sostituiti nell'equazione di Von Kàrmàn per ottenere lo spessore di strato limite.
Lo spessore di spostamento risulta:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\delta^* &=& \int_0^\delta{\left(1 - \fra...
...}\\ [3pt]\\
&=& \displaystyle \frac{3}{10}\ \delta
\end{array}\end{displaymath}

mentre lo spessore di quantità di moto:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\vartheta &=& \int_0^\delta{\frac{u}{U} \...
...\ [3pt]\\
&=& \displaystyle \frac{37}{315}\ \delta
\end{array}\end{displaymath}

La frizione a parete:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\tau_P&=&\mu \left( \ensuremath{\frac{\pa...
...\\ [3pt]\\
&=&\displaystyle \frac{2 \mu U}{\delta}
\end{array}\end{displaymath}

Sostituendo le espressioni sopra ottenute nella Eq. (6.4) e ricordando che per la lastra piana $ \ensuremath{\frac{d\,U}{d\,x}}=0 \leftrightarrow \lambda=0$ :

$\displaystyle \delta^*\ U\ \ensuremath{\frac{d\,U}{d\,x}}\ +\ \ensuremath{\frac{d\,(U^2\vartheta)}{d\,x}}\ =\ \frac{\tau_p}{\rho}
$

si ottiene:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{37}{315}\ensuremath{\...
...le \frac{630}{37} \frac{\mu\ x}{U \rho} \\ [3pt]\\
\end{array}\end{displaymath}

in definitiva:

$\displaystyle \displaystyle \frac{\delta}{x} = \displaystyle 5.835 \frac{1}{\sqrt{\mathcal{R}e_x}}$ (6.8)

Con l'espressione di $ \delta $ trovata si ottengono i valori cercati:

$\displaystyle \frac{\delta^*}{x} = \displaystyle 1.75 \frac{1}{\sqrt{\mathcal{R}e_x}}$ (6.9)

$\displaystyle \frac{\vartheta}{x} = \displaystyle 0.685 \frac{1}{\sqrt{\mathcal{R}e_x}}$ (6.10)

$\displaystyle H = 2.55$ (6.11)

$\displaystyle \tau_P = \displaystyle 0.343 \sqrt{\frac{\rho \ \mu}{x}}$ (6.12)

$\displaystyle C_F = \displaystyle 0.685 \frac{1}{\sqrt{\mathcal{R}e_L}}$ (6.13)

Riassumere i risultati in una tabella aiuta a notare le differenze:

Tabella 6.4: Confronto tra soluzione di Polhausen ed esatta di Blasius.
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width 3pt        width 3pt
width 3pt  BluePolhausen $ \lambda=0$ BlueBlasius   width 3pt
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width 3pt        width 3pt
width 3pt$ \delta $ $ \displaystyle 5.835 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U} }$ $ \displaystyle 5 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U} }$ Spessore di strato limite width 3pt
width 3pt        width 3pt
width 3pt$ \delta^*$ $ \displaystyle 1.75 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$ $ \displaystyle 1.7172\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$ Spessore di spostamento width 3pt
width 3pt        width 3pt
width 3pt$ \vartheta$ $ \displaystyle 0.685 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$ $ \displaystyle 0.66\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$ Spessore di quantità di moto width 3pt
width 3pt        width 3pt
width 3pt$ \tau_p$ $ \displaystyle 0.343\ U^\frac{3}{2} \sqrt{\frac{\mu \rho}{x}}$ $ \displaystyle 0.332\ U^{\frac{3}{2}}{\sqrt{\displaystyle \frac{\mu \rho}{x}}}$ Frizione a parete width 3pt
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width 3pt$ C_f$ $ \displaystyle 0.685\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$ $ \displaystyle 0.664\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$ Coefficiente di attrito width 3pt
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2009-01-26