Parametri di strato limite per piastra piana

Si ricaveranno i parametri di strato limite per poter confrontare il risultati del metodo di Polhausen con la soluzione esatta di Blasius.

Si ricaveranno lo spessore di spostamento, di quantità di moto e la frizione a parete. Questi verranno poi sostituiti nell'equazione di Von Kàrmàn per ottenere lo spessore di strato limite.
Lo spessore di spostamento risulta:

$$\begin{array}{rcl} \delta^* &=& \int_0^\delta{\left(1 - \fra... ...}\\ [3pt]\\ &=& \displaystyle \frac{3}{10}\ \delta \end{array}$$

mentre lo spessore di quantità di moto:

$$\begin{array}{rcl} \vartheta &=& \int_0^\delta{\frac{u}{U} \... ...\ [3pt]\\ &=& \displaystyle \frac{37}{315}\ \delta \end{array}$$

La frizione a parete:

$$\begin{array}{rcl} \tau_P&=&\mu \left( \ensuremath{\frac{\pa... ...\\ [3pt]\\ &=&\displaystyle \frac{2 \mu U}{\delta} \end{array}$$

Sostituendo le espressioni sopra ottenute nella Eq. (6.4) e ricordando che per la lastra piana $\ensuremath{\frac{d\,U}{d\,x}}=0 \leftrightarrow \lambda=0$ :

$$\delta^*\ U\ \ensuremath{\frac{d\,U}{d\,x}}\ +\ \ensuremath{\frac{d\,(U^2\vartheta)}{d\,x}}\ =\ \frac{\tau_p}{\rho}$$

si ottiene:

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{37}{315}\ensuremath{\... ...le \frac{630}{37} \frac{\mu\ x}{U \rho} \\ [3pt]\\ \end{array}$$

in definitiva:

$$\displaystyle \frac{\delta}{x} = \displaystyle 5.835 \frac{1}{\sqrt{\mathcal{R}e_x}}$$ (6.8)

Con l'espressione di $\delta$ trovata si ottengono i valori cercati:

$$\frac{\delta^*}{x} = \displaystyle 1.75 \frac{1}{\sqrt{\mathcal{R}e_x}}$$ (6.9)

$$\frac{\vartheta}{x} = \displaystyle 0.685 \frac{1}{\sqrt{\mathcal{R}e_x}}$$ (6.10)

$$H = 2.55$$ (6.11)

$$\tau_P = \displaystyle 0.343 \sqrt{\frac{\rho \ \mu}{x}}$$ (6.12)

$$C_F = \displaystyle 0.685 \frac{1}{\sqrt{\mathcal{R}e_L}}$$ (6.13)

Riassumere i risultati in una tabella aiuta a notare le differenze:

Tabella 6.4: Confronto tra soluzione di Polhausen ed esatta di Blasius.

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width 3pt		BluePolhausen $\lambda=0$	BlueBlasius		width 3pt
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width 3pt	$\delta$	$$5.835 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U} }$$	$$5 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U} }$$	Spessore di strato limite	width 3pt
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width 3pt	$\delta^*$	$$1.75 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	$$1.7172\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	Spessore di spostamento	width 3pt
width 3pt					width 3pt
width 3pt	$\vartheta$	$$0.685 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	$$0.66\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	Spessore di quantità di moto	width 3pt
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width 3pt	$\tau_p$	$$0.343\ U^\frac{3}{2} \sqrt{\frac{\mu \rho}{x}}$$	$$0.332\ U^{\frac{3}{2}}{\sqrt{\displaystyle \frac{\mu \rho}{x}}}$$	Frizione a parete	width 3pt
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width 3pt	$C_f$	$$0.685\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$$	$$0.664\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$$	Coefficiente di attrito	width 3pt
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