Moto alla Poiseuille

La Eq. (4.2) diventa:

Figura 4.4: Profilo di velocità Poiseuille

$$\boxed{ u(y)\ =\ \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x}}\ \frac{1}{2 \mu}\ \left( y^2\ -\ a\ y \right) }$$ (4.4)

Il valore massimo di velocità si ha quando:

$$\ensuremath{\frac{d\,u}{d\,y}}=0$$

per:

$$y=\frac{a}{2}$$

come era intuibile, e vale:

$$\boxed{ U_{max} \left( \frac{a}{2}\right)\ =\ - \frac{a^2}{8 \mu} \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x}} }$$

in cui il segno ``meno'' tiene conto del fatto che il gradiente di pressione negativo favorisce il moto del fluido con velocità positiva (concorde cioè con il verso del sistema di riferimento).
Il valore medio della velocità vale invece:

$$\begin{array}{rcl}\\ [3pt] \bar{U}&=&\displaystyle \frac{1}{... ...{y^3}{3} - a\ \frac{y^2}{e} \right]^a_0 \\ [3pt]\\ \end{array}$$

$$\boxed{ \bar{U}=\displaystyle - \frac{a^2}{12 \mu} \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x}} \\ [3pt] }$$

Si nota allora che:

$$\displaystyle U_{max}\ =\ \frac{3}{2}\ \bar{U}$$

Il valore dello sforzo tangenziale a parete:

$$\tau_p \ =\ \mu \ \left( \ensuremath{\frac{d\,u_1}{d\,y}} \right)_{y=0}$$

in valore assoluto:

$$\tau_p \ =\ \mu \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x}}\ \frac{1}{2 \mu} a$$

Sostituendo in questa l'espressione del gradiente di pressione ricavato dall'espressione della velocità media presa in valore assoluto:

$$\tau_p \ =\ \frac{6\ \bar{U}\ \mu}{a}$$