Introduzione

Si analizzeranno ora le particolarizzazioni delle equazioni di Navier-Stokes relativamente alle condizioni di moto tra due piastre piane parallele distanti $a$ .

Figura 4.1: Flussi di corrente tra due piastre piane

Il moto è monodimensionale:

$$\left\{ \begin{array}{lcr} u_2&=&0\\ u_3&=&0 \end{array}\right.$$

Le condizioni di moto considerate sono:

Flusso alla Couvette: in questo tipo di moto il fluido viene messo in moto per effetto del trascinamento dovuto al movimento di una delle due piastre con velocità $U$ ; il moto non avviene a causa di un gradiente di pressione.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \ensuremath{\frac{\p... ...)&=&0 \\ [3pt] \\ \displaystyle u_1(a)&=&U \end{array}\right.$$

Flusso alla Poiseuille: in questo tipo di moto il fluido si muove per effetto di un gradiente di pressione tra le piastre ferme.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \ensuremath{\frac{\... ...)&=&0 \\ [3pt] \\ \displaystyle u_1(a)&=&0 \end{array}\right.$$

Le condizioni di stazionarietà ( $\ensuremath{\frac{\partial }{\partial t}}=0$ ), monodimensionalità ( $u_1=u_1(x_2)$ , $u_2=0$ , $u_3=0$ ), unite al trascurare le forze di volume ( $\vec{\gamma}=0$ ) semplificano le Eq. (3.1):

$$\begin{array}{rcl}\\ [3pt] \displaystyle 0 & = &\ \displays... ...artial u_1}{\partial x_1}} \ & = & \ 0 \\ [3pt] \\ \end{array}$$

L'equazione del moto tra due lastre piane è quindi:

$$\ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x_1}}\ =\ \mu \ \ensuremath{\frac{d^2\, u_1}{d\, x_2^2}}$$

Affinché questa abbia senso dovrà essere:

$$\boxed{ \displaystyle \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x_1}}=\mu \ \ensuremath{\frac{d^2\, u_1}{d\, x_2^2}}=K_1 }$$ (4.1)

La prima parte della Eq. (4.1) porta alla soluzione:

$$P=K_1 x + K_2$$

in cui:

$$K_1=\ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x_1}}$$

La seconda parte della Eq (4.1) diventa:

$$\mu \ensuremath{\frac{d^2\, u_1}{d\, x_2^2}}=K_1$$

che risolta:

$$u_1(x_2)= \frac{1}{\mu} \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x_1}} \frac{x_2^2}{2} + C_1 x_2 + C2$$

Essendo in generale $u_1(0)=0$ e $u_1(a)=U$ :

$$C_1 =0$$

$$C_2 =\ \frac{U}{a}- \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x_1}} \frac{1}{\mu} \frac{a}{2}$$

e in definitiva:

$$\boxed{ u(y)\ =\ \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x}}\ \frac{1}{2 \mu}\... ...ft( \frac{U}{a}\ -\ \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x}}\ \frac{a}{2 \mu}\right)\ y }$$ (4.2)

Figura 4.2: Profilo di velocità tra due piastre

Il profilo dell'atto di moto può essere visto come la somma dei profili di moto alla Couvette e alla Poiseuille. La velocità massima si raggiungerà oltre la metà del meato:

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle \ensuremath{\frac{d\,u}{d\,... ...tyle a \ensuremath{\frac{d\,P}{d\,x}}} \\ [3pt] \\ \end{array}$$