Similitudine

La similitudine tra fenomeni e/o sistemi fisici risulta molto utile qualora si vogliano ottenere dei risultati relativi al comportamento del sistema in studio, procedendo sperimentalmente su un modello in scala ridotta.

Similitudine fisica
La similitudine fisica tra ``modello'' e ``vero'' si ha quando le caratteristiche fisiche di uno possono essere dedotte dalle caratteristiche dell'altro attraverso una conversione che passi attraverso un fattore di scala.

Analogia
Sussiste tra due fenomeni e/o sistemi fisici diversi il cui comportamento è regolato da equazioni formalmente identiche (si ricordi per esempio l'analogia elettromeccanica tra sistemi massa, molla, smorzatore ed i sistemi L, C, R dell'elettrotecnica). La similitudine fisica tra due fenomeni è un caso particolare di analogia.

Un esempio importante di analogia è quello sussistente tra modello matematico e modello fisico.

Modello matematico
Per mezzo dell'analogia che sussiste tra il modello fisico e quello matematico, il comportamento del primo può essere dedotto risolvendo il secondo.

Il modello matematico di un sistema fisico è dato dal numero minimo di equazioni differenziali con le relative condizioni al contorno ed iniziali la cui soluzione fornisce un'insieme di funzioni capaci di descrivere completamente l'evoluzione spazio-temporale del sistema.

Dati quindi due sistemi fisici, ``vero'' e ``modello'' in similitudine fisica, ad essi saranno associati due modelli matematici che, adimensionalizzati, risulteranno identici. Si intuisce che, affinché sussista similitudine tra vero e modello, dovranno sussistere la similitudine geometrica, della distribuzione delle masse, delle forze ecc.

Si può quindi affermare che:
esiste similitudine tra modello e vero se i rispettivi modelli matematici a variabili adimensionate sono identici.
L'analisi dimensionale si basa sul principio fondamentale in base al quale una qualsiasi relazione o equazione matematica deve essere coerente dal punto di vista dimensionale (si ricordi l'esempio del maestro che alla scuola elementare che ripeteva che le pere vanno sommate con le pere, le mele con le mele ecc.); tutti i termini di un'equazione devono avere quindi la stessa dimensione: dividendo ciascuno dei termini dell'equazione per uno di essi, si ottiene una equazione adimensionale.
Si consideri una semplice equazione:

$$Ax+By+C=0$$

in cui i singoli termini $Ax$ , $By$ , $C$ , dovranno essere coerenti dimensionalmente. Si introducano le variabili adimensionate $x'=x/K$ , $y'=y/L$ :

$$AKx'+BLy'+C=0$$

Dividendo l'espressione nelle variabili adimensionate $x'$ e $y'$ per $AK$ si otterrà una equazione adimensionata:

$$x'+\frac{BL}{AK}y'+\frac{C}{AK}=0$$

I termini $\frac{BL}{AK}$ e $\frac{C}{AK}$ prendono il nome di gruppi adimensionali.

La condizione necessaria affinché modello e vero siano in similitudine è che siano uguali i gruppi adimensionali indipendenti meno uno.

$$\begin{array}{lrclcrcl} \mbox{Vero}&\varphi_v'(\Pi_1, \dots,... ...&0&\rightarrow&\Pi_i&=&g_m(\Pi_1, \dots, \Pi_{i-1}) \end{array}$$

Tabella D.1: Il teorema di Buckingam e l'analisi dimensionale.