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Il teorema $ \pi $ di Buckingam

Teorema D.1.1   Il numero di guppi adimensionali indipendenti è pari al numero dei parametri influenti meno il numero delle grandezze fondamentali.

$\displaystyle i=n-q$ (D.1)

(i)
$ i$ numero dei gruppi adimensionali indipendenti;
(ii)
$ n$ numero delle grandezze fondamentali;
(iii)
$ q$ numero delle grandezze fondamentali che compaiono nel problema ($ q=1$ problema geometrico $ [l]$ , $ q=2$ problema cinematico $ [l, t]$ , $ q=3$ problema dinamico $ [l, m, t]$ ecc.).

Dimostrazione. Sia $ \varphi$ l'espressione matematica della grandezza della quale si vogliono ricavare i valori numerici tramite lo studio del modello in similitudine:

$\displaystyle \varphi(x_1, \dots, x_n)=0 $

in cui $ x_i$ sono i parametri influenti sul sistema. Procedendo all'adimensionalizzazione dell'espressione sopra si otterrà :

$\displaystyle \varphi'(\Pi_1, \dots, \Pi_i)=0 $

in cui $ \Pi$ sono gli ``$ i$ '' gruppi adimensionali indipendenti. Il generico elemento $ \Pi_j$ sarà stato ottenuto a partire da un prodotto delle grandezze $ x$ ciascuna elevata ad una data potenza per cui in generale si potrà dire:

$\displaystyle \Pi_j=(x_1^{\alpha_{1j}} \cdots x_n^{\alpha_{nj}}) $

Le grandezze $ x$ a loro volta potranno essere espresse come prodotto delle $ q$ grandezze fondamentali $ U$ del problema elevate alle potenze $ \beta$ note:

$\displaystyle x_j=U_1^{\beta_{1j}} \cdots U_q^{\beta_{qj}} $

Si potrà allora scrivere:

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} \Pi_1&=&(U_1^{\beta_{11}} \cdots ... ...1n}} \cdots U_q^{\beta_{qn}})^{\alpha_{ni}} \end{array}\right. \end{displaymath}

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} \Pi_1&=&U_1^{(\beta_{11}\alpha_{1... ...}\alpha_{1i}+\cdots+\beta_{qn}\alpha_{ni})} \end{array}\right. \end{displaymath}

Poiché tutti i gruppi $ \Pi$ sono adimensionali, tutti gli esponenti delle grandezze fondamentali $ U$ dovranno essere nulli:

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \left\{ \begin{array}{rcl} \bet... ...beta_{qn}\alpha_{ni}&=&0 \end{array}\right. \end{array}\right. \end{displaymath}

Si ottengono $ i$ sistemi lineari omogenei ciasuno costituito da $ q$ equazioni in $ n$ incognite. Si deduce quindi che per la soluzione dovranno essere fissati per ciascuno degli $ i$ sistemi $ (n-q)$ valori di $ \alpha$ . Dovendo essere tali (n-q)-ple indipendenti, esse dovranno essere proprio $ i$ :

$\displaystyle i=n-q$

Risulta pertanto dimostrata la D.1. $ \qedsymbol$

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2009-01-26