Equazione di Von Kàrmàn: profilo di velocità lineare

L'equazione di Von Kàrmàn è un potente mezzo per la soluzione di regimi di moto e geometrie più complesse della classica lamina piana. Tuttavia si riporterà comunque un esempio di soluzione della lamina piana i cui valori approssimati, ottenuti ipotizzando un ``rozzo'' profilo lineare per $u(y)$ , verranno confrontati con la soluzione esatta di Blasius trattata successivamente. Si rileverà un buon accordo con la soluzione esatta, nonostante la approssimativa ipotesi del profilo di velocità .

Tabella 6.1: Utilizzo equazione di Von Kàrmàn.

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Nella lamina piana è nullo il gradiente di pressione imposto dal campo esterno per cui sarà altrettanto nullo il gradiente di velocità $dU/dx$ :

$$\delta^*\ U\ \ensuremath{\frac{d\,U}{d\,x}}\ +\ \ensuremath{\frac{d\,(U^2\vartheta)}{d\,x}}\ =\ \frac{\tau_p}{\rho}$$

la $U$ sarà costante lungo la $x$ :

$$\ensuremath{\frac{d\,(U^2\vartheta)}{d\,x}}\ =\ \frac{\tau_p}{\rho}$$

$$U^2\ \ensuremath{\frac{d\,\vartheta}{d\,x}}\ =\ \frac{\tau_p}{\rho}$$

Si vede come della variazione di quantità di moto del flusso sia responsabile la sola $\tau$ .

Si scelga a questo punto un profilo ipotetico di velocità , per esempio lineare, per la $u(y)$ :

$$u(y)\ =\ U\ \frac{y}{\delta}$$

e si ipotizzi un atto di moto laminare, che permette l'utilizzo della espressione di Newton della viscosità :

$$\tau_p\ =\ \mu \ \left(\ensuremath{\frac{d\,u}{d\,y}}\right)_p$$

Con queste scelte si ottiene lo spessore di quantità di moto:

$$\vartheta\ =\ \int_0^\delta{\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy}$$

$$\vartheta\ =\ \int_0^\delta{\frac{y}{\delta}\left(1-\frac{y}{\delta}\right)dy}$$

$$\vartheta \ =\ \frac{\delta}{6}$$

lo spessore di spostamento:

$$\delta^*\ =\ \int_0^\delta{\left(1-\frac{u}{U}\right)dy}$$

$$\delta^*\ =\ \int_0^\delta{\left(1-\frac{y}{\delta}\right)dy}$$

$$\delta^* \ =\ \frac{\delta}{2}$$

e lo sforzo a parete:

$$\tau_p \ =\ \mu \ \frac{U}{\delta}$$

Si può calcolare lo spessore di strato limite $\delta$ dalla equazione di Von Kàrmàn:

$$U^2\ \ensuremath{\frac{d\,\vartheta}{d\,x}}\ =\ \frac{\tau_p}{\rho}$$

$$\frac{U^2}{6}\ \ensuremath{\frac{d\,\delta}{d\,x}} \ =\ \frac{\mu \ U}{\rho \ \delta}$$

$$\frac{U}{6}\ \delta \ d\delta \ =\ \frac{\mu}{\rho} \ dx$$

$$\frac{U}{12}\ \delta^2 \ =\ \frac{\mu}{\rho} \ x$$

$$\delta \ =\ \sqrt{\frac{12 \ \mu}{U \ \rho} \ x}$$

$$\delta \ =\ 3.46 \ \sqrt{\frac{\nu \ x}{U} }$$

$$\frac{\delta}{x} \ =\ \displaystyle 3.46 \ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_x}}$$

Lo sforzo tangenziale a parete locale sarà dunque:

$$\tau_p\ =\ 0.289\ U^\frac{3}{2}\ \sqrt{\frac{\rho \ \mu}{x}}$$

lo spessore di spostamento:

$$\delta^* \ =\ 1.73 \ \sqrt{\frac{\nu \ x}{U} }$$

lo spessore di quantità di moto:

$$\vartheta \ =\ 0.577 \ \sqrt{\frac{\nu \ x}{U} }$$

ed il coefficiente di resistenza della piastra di lunghezza $L$ :

$$C_f\ =\ 0.577\ \sqrt{\frac{\mu}{L\ U\ \rho}}$$

$$C_f\ =\ 0.577\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$$

Tabella 6.2: Confronto tra soluzione approssimata ed esatta.

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width 3pt		BlueVon Kàrmàn	BlueBlasius		width 3pt
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width 3pt	$\delta_{0.99}$	$$3.46 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U} }$$	$$5 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U} }$$	Spessore di strato limite	width 3pt
width 3pt					width 3pt
width 3pt	$\delta^*$	$$1.73 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	$$1.7172\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	Spessore di spostamento	width 3pt
width 3pt					width 3pt
width 3pt	$\vartheta$	$$0.577 \ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	$$0.66\ \sqrt{\frac{\nu x}{U}}$$	Spessore di quantità di moto	width 3pt
width 3pt					width 3pt
width 3pt	$\tau_p$	$$0.289\ U^\frac{3}{2} \sqrt{\frac{\mu \rho}{x}}$$	$$0.332\ U^{\frac{3}{2}}{\sqrt{\displaystyle \frac{\mu \rho}{x}}}$$	Frizione a parete	width 3pt
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width 3pt	$C_f$	$$0.577\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$$	$$0.664\ \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\mathcal{R}e_L}}$$	Coefficiente di attrito	width 3pt
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