Semplificazione di Prandtl delle equazioni di Navier Stokes

Le equazioni di Navier Stokes per fluidi incompressibili, non soggetti a forze di volume, in moto stazionario piano vennero semplificate da Prandtl. Le semplificazioni prendono spunto da valutazioni relative agli ordini di grandezza delle ``grandezze fisiche'' in gioco e relative alla determinazione delle zone di fluido in cui l'atto di moto è prevalentemente dominato da forze di tipo viscoso o inerziale.

Figura 6.1: Strato limite intorno ad un profilo.

$$\left\{ \begin{array}{rcll} \displaystyle \rho \left(\ u \en... ...v}{\partial y}}\ & = & \ 0 & \ \mbox{(III)} \end{array}\right.$$

III

La forma della terza relazione, ossia dell'equazione di continuità , suggerisce che le due derivate debbano avere lo stesso ordine di grandezza e che quindi nessuno dei due termini possa essere trascurato rispetto all'altro. Si osserva comunque che l'ordine della grandezza:

$\partial u$

sarà quello della $U_\infty$ della corrente libera. Questa infatti passa da 0 sulla superficie a $U_\infty$ ;

$$\partial u \approx U_\infty$$

$\partial x$

varia da 0 a $L$ lunghezza del profilo sul quale scorre la corrente fluida;

$$\partial x \approx L$$

$\partial y$

varia da 0 all'altezza dell' strato limite, ossia il campo di interesse di applicazione delle equazioni che si vogliono risolvere;

$$\partial y \approx \delta$$

$\partial v$

varia da 0 a parete fino ad un valore di riferimento ottenuto componendo le grandezze di riferimento viste sopra.

$$\partial v \approx \frac{U_\infty \ \delta}{L}$$

I

La prima equazione può essere scritta in termini di grandezze di riferimento per poter evidenziare i termini trascurabili. Si osserva che l'ordine di grandezza della variazione della pressione lungo l'asse $x$ può essere valutato utilizzando l'equazione di Bernoulli (ossia NS in campo irrotazionale) nel campo esterno allo strato limite.

$$\ensuremath{\frac{\partial P}{\partial x}} \approx \rho U^2 \frac{1}{L}$$

$$\rho\ \frac{U^2}{L}+ \rho \ \frac{U^2\ \delta}{L \ \delta} = \rho U^2 \frac{1}{L}+ \mu \frac{U}{L^2}+ \mu \frac{U}{\delta^2}$$

dividendo per il gruppo $\rho\ \frac{U^2}{L}$ :

$$1+ 1 = 1+ \mu \frac{1}{L \rho U}+ \mu \frac{U\ L}{\delta^2 \rho U^2}$$

$$1+ 1 = 1+ \frac{1}{\mathcal{R}e}+ \left(\frac{L}{\delta}\right)^2 \frac{1}{\mathcal{R}e}$$

In casi di interesse pratico

$$\mathcal{R}e \approx 10^6$$

mentre lo spessore dello strato limite $\delta$ è dell'ordine dei millimetri e $L$ dei metri (oppure tenendo conto della Rel. (5.6)). Il termine trascurabile è :

$$\frac{1}{\mathcal{R}e}$$

corrispondente a:

$$\ensuremath{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}$$

La (I) equazione diventa:

$$\rho \left(\ u \ensuremath{\frac{\partial u}{\partial x}}+v \ensu... ...tial P}{\partial x}}\ +\ \mu \ \ensuremath{\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}$$

II

Anche la seconda equazione può essere scritta in termini di grandezze di riferimento per poter evidenziare i termini trascurabili.

$$\ensuremath{\frac{\partial P}{\partial y}} \approx \rho U^2 \frac{1}{\delta}$$

$$\rho\ \frac{U^2 \delta}{L^2}+ \rho \frac{U^2\ \delta^2}{L^2 \ \de... ...rac{1}{\delta}+ \mu \frac{U \ \delta}{L^3}+ \mu \frac{U \ \delta}{\delta^2\ L}$$

dividendo per il gruppo $\rho\ \frac{U^2}{\delta}$ :

$$\frac{\delta^2}{L^2}+\frac{\delta^2}{L^2} = 1+ \frac{1}{\mathcal{R}e}\ \frac{\delta^2}{L^2}+ \frac{1}{\mathcal{R}e}$$

$$\frac{1}{\mathcal{R}e} + \frac{1}{\mathcal{R}e} = 1+ \frac{1}{\mathcal{R}e^2}+ \frac{1}{\mathcal{R}e}$$

Si evidenzia l'unico termine non trascurabile che è quello corrispondente al gradiente di pressione. La (II) equazione diventa:

$$\ensuremath{\frac{\partial P}{\partial y}}\ = \ 0$$

Questa relazione mostra come la variazione di pressione lungo la $y$ sia del tutto trascurabile. La pressione all'interno dello strato limite varierà allora solo lungo la $x$ e sarà quella imposta dal campo irrotazionale esterno. La stessa equazione (II), nel campo esterno privo di viscosità fornisce l'equazione di Bernoulli, che esprime il gradiente di pressione cercato:

$$\ensuremath{\frac{d\,P_e}{d\,x}}\ = \ -\ \frac{1}{2}\ \rho \ \ensuremath{\frac{d\,U^2}{d\,x}}$$ (6.1)

Le equazioni di Navier-Stokes, con le esemplificazioni introdotte da Prandtl assumono la forma:

$$\boxed{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \ensuremath{\frac{\parti... ...}{d\,x}}\ +\ \mu \ \ensuremath{\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}} \end{array} }$$ (6.2)