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Teorema di trasformazione di Reynolds

Il teorema di trasformazione di Reynolds è di fondamentale importanza. Esso permette di passare facilmente dall'espressione generica del teorema della quantità di moto alla sua versione sotto la forma delle equazioni di Navier-Stokes.
La derivata totale, ossia Lagrangiana di una grandezza viene in virtù di tale teorema, espressa in termini delle sue componenti parziali.

Teorema -thm   (di Reynolds)
Sia $ B$ una grandezza estensiva legata a $ b$ intensiva che ne rappresenta il valore per unità di volume di controllo $ Vc$ avente superficie di contorno $ Sc$ :

$\displaystyle B=\int_{Vc}b \rho dv$


e $ \frac{D}{Dt}$ la derivata totale o Lagrangiana di $ B$ :

$\displaystyle \frac{DB}{Dt}=\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{B(t+\delta t)-B(t)}{\delta t}$

allora:

$\displaystyle \fbox{$ \displaystyle \frac{DB}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{Vc}b \rho \ dv + \int_{Sc}b \rho \vec{V} \vec{n} \ dS $}$ (B.1)

La derivata totale di una grandezza intensiva computata su di un volume di controllo $ Vc$ viene vista come somma della variazione della grandezza nel suo volume di controllo nel tempo, e del flusso netto della grandezza stessa attaverso ila superficie di controllo che racchiude il volume. In questo modo il punto di osservazione si sgancia dal volume di controllo in moto $ Vc$ che racchiude la grandezza estensiva (punto di vista Lagrangiano) e passa ad un volume di controllo fisso nello spazio $ Vo$ rispetto al quale vengono espresse le componenti di derivazione parziale (punto di vista Euleriano)B.1.
Figura B.1: Volume di controllo $ Vc$ tra gli istanti iniziale e finale di osservazione.
\includegraphics[width=130mm]{patata.eps}

Si segua il volume di controllo $ Vc$ tra gli istanti $ t$ e $ \delta t$ . Guardando la Fig. B.1 si vede che se si considera lo spostamento infinitesimo subito nella sua evoluzione da $ Vc$ , si potrà individuare una zona di sovrapposizione $ Vo$ , una zona competente a $ Vc$ osservato all'istante $ t$ indicata con $ Vi$ ed una zona competente a $ Vc$ osservato all'istante $ t+\delta t$ indicata con $ Vu$ . Queste due zone, $ Vi$ e $ Vu$ possono essere viste rispettivamente come volumi in ingresso e in uscita della grandezza intensiva nel volume $ Vo$ visto come fisso nell'intervallo di tempo $ \delta t$ . La grandezza estensiva $ B$ espressa nell'istante iniziale sarà :

$\displaystyle B(t)=\int_{Vo(t)}b\ \rho \ dv + \int_{Vi}b\ \rho \ dv $

e nell'istante finale:

$\displaystyle B(t+\delta t)= \int_{Vo(t+\delta t)}b\ \rho \ dv + \int_{Vu}b\ \rho \ dv $

La derivata totale della grandezza $ B$ sarà dunque:

$\displaystyle \frac{DB}{Dt}=\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{\int_{Vo(t+\delt...
...{Vu}b\ \rho \ dv - \int_{Vo(t)}b\ \rho \ dv - \int_{Vi}b\ \rho \ dv}{\delta t} $

Se si introduce l'ipotesi di considerare $ Vo$ B.2 costante nel tempo allora:
$\displaystyle {\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{\int_{Vo(t+\delta t)}{b \ \rho \ dv} - \int_{Vo(t)}{b\ \rho \ dv}}{\delta t}=}$
    $\displaystyle \lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{\left(\int_{Vo}{b \ \rho \ dv}...
...\ dv}\right)_{t}}{\delta t}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{Vo}{b \ \rho \ dv}$  

Per quanto riguara gli integrali di volume su $ Vi$ e $ Vu$ , integrando per fili su $ Sci$ ed $ Scu$ , ossia le porzioni di superficie di controllo $ Sc$ del volume fisso $ Vo$ attraverso cui entra ed esce il flusso della grandezza $ b \ \rho$ :

$\displaystyle \int_{Vu(t+\delta t)}b \ \rho \ dv=\int_{Scu(t+\delta t)}b \ \rho \ Vn \ dScu \ \delta t
$

$\displaystyle \int_{Vi(t)}b \ \rho \ dv=\int_{Sci(t)}b \ \rho \ Vn \ dSci \ \delta t
$

si ottiene:

$\displaystyle \lim_{\delta t \rightarrow 0}\left[\frac{\int_{Scu}b \ \rho \ \ve...
...{V} \ dSci}{\delta t}\right]\delta t=\int_{Sc}b \ \rho \ \vec{n} \vec{V} \ dSc
$

avendo adottato la convenzione secondo la quale il versone normale $ \vec{n}$ è positivo se uscente dalla superficie, ossia:

$\displaystyle Vn=-\vec{V}\vec{n}$   su$\displaystyle Sci
$

$\displaystyle Vn=\vec{V}\vec{n}$   su$\displaystyle Scu
$

Da quanto sopra risulta quindi dimostrata l'Eq. (B.1).


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2009-01-26