Teorema di trasformazione di Reynolds

Il teorema di trasformazione di Reynolds è di fondamentale importanza. Esso permette di passare facilmente dall'espressione generica del teorema della quantità di moto alla sua versione sotto la forma delle equazioni di Navier-Stokes.
La derivata totale, ossia Lagrangiana di una grandezza viene in virtù di tale teorema, espressa in termini delle sue componenti parziali.

Teorema -thm   (di Reynolds)
Sia $B$ una grandezza estensiva legata a $b$ intensiva che ne rappresenta il valore per unità di volume di controllo $Vc$ avente superficie di contorno $Sc$ :

$$B=\int_{Vc}b \rho dv$$

e $\frac{D}{Dt}$ la derivata totale o Lagrangiana di $B$ :

$$\frac{DB}{Dt}=\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{B(t+\delta t)-B(t)}{\delta t}$$

allora:

$$\fbox{$ \displaystyle \frac{DB}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{Vc}b \rho \ dv + \int_{Sc}b \rho \vec{V} \vec{n} \ dS $}$$ (B.1)

La derivata totale di una grandezza intensiva computata su di un volume di controllo $Vc$ viene vista come somma della variazione della grandezza nel suo volume di controllo nel tempo, e del flusso netto della grandezza stessa attaverso ila superficie di controllo che racchiude il volume. In questo modo il punto di osservazione si sgancia dal volume di controllo in moto $Vc$ che racchiude la grandezza estensiva (punto di vista Lagrangiano) e passa ad un volume di controllo fisso nello spazio $Vo$ rispetto al quale vengono espresse le componenti di derivazione parziale (punto di vista Euleriano)^B.1.

Figura B.1: Volume di controllo $Vc$ tra gli istanti iniziale e finale di osservazione.

Si segua il volume di controllo $Vc$ tra gli istanti $t$ e $\delta t$ . Guardando la Fig. B.1 si vede che se si considera lo spostamento infinitesimo subito nella sua evoluzione da $Vc$ , si potrà individuare una zona di sovrapposizione $Vo$ , una zona competente a $Vc$ osservato all'istante $t$ indicata con $Vi$ ed una zona competente a $Vc$ osservato all'istante $t+\delta t$ indicata con $Vu$ . Queste due zone, $Vi$ e $Vu$ possono essere viste rispettivamente come volumi in ingresso e in uscita della grandezza intensiva nel volume $Vo$ visto come fisso nell'intervallo di tempo $\delta t$ . La grandezza estensiva $B$ espressa nell'istante iniziale sarà :

$$B(t)=\int_{Vo(t)}b\ \rho \ dv + \int_{Vi}b\ \rho \ dv$$

e nell'istante finale:

$$B(t+\delta t)= \int_{Vo(t+\delta t)}b\ \rho \ dv + \int_{Vu}b\ \rho \ dv$$

La derivata totale della grandezza $B$ sarà dunque:

$$\frac{DB}{Dt}=\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{\int_{Vo(t+\delt... ...{Vu}b\ \rho \ dv - \int_{Vo(t)}b\ \rho \ dv - \int_{Vi}b\ \rho \ dv}{\delta t}$$

Se si introduce l'ipotesi di considerare $Vo$ ^B.2 costante nel tempo allora:

$${\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{\int_{Vo(t+\delta t)}{b \ \rho \ dv} - \int_{Vo(t)}{b\ \rho \ dv}}{\delta t}=}$$

$$\lim_{\delta t \rightarrow 0}\frac{\left(\int_{Vo}{b \ \rho \ dv}... ...\ dv}\right)_{t}}{\delta t}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{Vo}{b \ \rho \ dv}$$

Per quanto riguara gli integrali di volume su $Vi$ e $Vu$ , integrando per fili su $Sci$ ed $Scu$ , ossia le porzioni di superficie di controllo $Sc$ del volume fisso $Vo$ attraverso cui entra ed esce il flusso della grandezza $b \ \rho$ :

$$\int_{Vu(t+\delta t)}b \ \rho \ dv=\int_{Scu(t+\delta t)}b \ \rho \ Vn \ dScu \ \delta t$$

$$\int_{Vi(t)}b \ \rho \ dv=\int_{Sci(t)}b \ \rho \ Vn \ dSci \ \delta t$$

si ottiene:

$$\lim_{\delta t \rightarrow 0}\left[\frac{\int_{Scu}b \ \rho \ \ve... ...{V} \ dSci}{\delta t}\right]\delta t=\int_{Sc}b \ \rho \ \vec{n} \vec{V} \ dSc$$

avendo adottato la convenzione secondo la quale il versone normale $\vec{n}$ è positivo se uscente dalla superficie, ossia:

$$Vn=-\vec{V}\vec{n}$$   su$$Sci$$

$$Vn=\vec{V}\vec{n}$$   su$$Scu$$

Da quanto sopra risulta quindi dimostrata l'Eq. (B.1).