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Equazione di Von Kàrmàn: metodo di Thwaites

Il metodo integrale di Thwaites è basato sull'equazione di Von Kàrmàn e sull'assunzione di valori numerici empirici che trovano riscontro nella realtà. È in molti casi un metodo molto accurato. Dato il campo esterno $ U(x)$ si vogliono determinare $ \vartheta(x)$ , $ \delta^*(x)$ e $ C_F(x)$ . Si riprenda l'Eq. (6.5):

$\displaystyle \frac{C_f}{2} \ =\ \frac{\vartheta}{U_e} \ensuremath{\frac{d\,U_e}{d\,x}}\ (H +\ 2) \ +\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta}{\partial x}}
$

Volendo integrarla per ottenere l'andamento dello spessore di quantità di moto $ \vartheta$ la si riscrive:

$\displaystyle \ensuremath{\frac{\partial \vartheta}{\partial x}} \ = \ \frac{C_f}{2} \ - \ \frac{\vartheta}{U_e} \ensuremath{\frac{d\,U_e}{d\,x}}\ (H +\ 2)
$

Si dovrà cercare di mettere in relazione il fattore di forma $ H$ e il coefficiente di attrito a parete $ C_F$ con $ \vartheta$ . L'adimensionalizzazione di $ y$ avverrà ora tenendo in considerazione lo spessore di quantità di moto $ \vartheta$ :

$\displaystyle \eta = \frac{y}{\vartheta}
$

mentre la velocità adimensionata resterà :

$\displaystyle U = \frac{u}{U_e}
$

Il profilo di velocità nello strato limite è caratterizzato da: Thwaites assunse che i parametri $ \ell$ e $ H$ fossero unicamente funzioni di $ \lambda$ parametro di Thwaites:

$\displaystyle H \ = \ H[\lambda(x)] \quad \quad \ell \ = \ \ell[\lambda(x)]
$

Relazioni usate per il calcolo di $ H$ e $ \ell$ , una volta ottenuto $ \vartheta$ e quindi $ \lambda$ sono quelle di Cebecy & Bradshaw:
\begin{displaymath}\begin{array}{lcl}
\mbox{Moti accelerati}& 0 \leq \lambda < 0...
...ac{0.0731}{\lambda+0.14} + 2.088
\end{array}\right.
\end{array}\end{displaymath}     (6.15)

Si moltiplichi per $ U\ \vartheta/\nu$ l'equazione di Von Kàrmàn:

$\displaystyle \frac{U_e \vartheta}{\nu}\ensuremath{\frac{\partial \vartheta}{\p...
...2} \ - \ \frac{\vartheta^2}{\nu} \ensuremath{\frac{d\,U_e}{d\,x}}\ (H \ +\ 2)
$

$\displaystyle \frac{U_e \vartheta}{\nu} \ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta}{\partial x}} \ =\ \ell \ -\ \lambda \ (H \ +\ 2)
$

$\displaystyle \frac{U_e}{\nu} \ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\partial x}} \ = \ 2 \ [\ell \ -\ \lambda \ (H \ +\ 2)]
$

$\displaystyle \frac{U_e}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\partial x}} \ = \ F(\lambda)
$

A questo punto entra in gioco una ulteriore assunzione, empirica, di Thwaites basata su riscontri sperimentali:

$\displaystyle \frac{U_e}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\partial x}} \ =\ 0.45 \ -\ 6 \ \lambda$ (6.16)

Con l'espressione di $ \lambda$ :

$\displaystyle \frac{U_e}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\partial...
...\ -\ 6 \ \frac{\vartheta^2}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial U_e}{\partial x}}
$

e moltiplicando per $ U_e^5$ :

$\displaystyle \frac{U_e^6}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\parti...
... \ \frac{U_e^5 \vartheta^2}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial U_e}{\partial x}}
$

$\displaystyle \frac{U_e^6}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial \vartheta^2}{\parti...
...rtheta^2}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial U_e}{\partial x}} \ =\ 0.45 \ U_e^5
$

$\displaystyle \frac{1}{\nu}\ \ensuremath{\frac{\partial (U_e^6\vartheta^2)}{\partial x}} \ =\ 0.45 \ U_e^5
$

Questa equazione può essere facilmente integrata:

$\displaystyle \left[\frac{1}{\nu}\ U_e^6\vartheta^2\right]^x_0 \ =\ \int_0^x{0.45 \ U_e^5 \ dx}
$

Al punto di arresto, $ x=0$ è $ U_e=0$ :

$\displaystyle \frac{1}{\nu}\ U_e^6\vartheta^2 \ =\ \int_0^x{0.45 \ U_e^5 \ dx}
$

In definitiva lo spessore di quantità di moto risulta:

$\displaystyle \boxed{ \vartheta^2 \ =\ \frac{0.45 \ \nu}{U_e^6} \ \int_0^x{U_e^5 \ dx} }$ (6.17)

Una volta noto $ \vartheta(x)$ è possibile ottenere $ \lambda(x)=\frac{\vartheta^2(x)}{\nu}\ensuremath{\frac{d\,U_e(x)}{d\,x}}$ , $ \ell(x)$ ed $ H(x)$ dalle (6.15), e finalmente lo spessore di spostamento $ \delta^*(x)=H(x)\vartheta(x)$ che permette di ricalcolare il campo di moto esterno, e il coefficiente di attrito $ C_f=2\frac{\nu}{U_e(x)\vartheta(x)}\ell(x)$ . Osservando l'andamento dello sforzo a parete $ \tau_P(x)$ si cercherà di determinare il punto di separazione.

Tabella 6.5: Utilizzo del metodo di Thwaites.
\begin{table}
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\begin{center}
\psframebox[linearc=0.5...
...ue}{Calcolo}}
\ncline{->}{7,1}{8,1}
\end{psmatrix}%
}\end{center}\end{table}



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2009-01-26