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Soluzione

Si è detto che il metodo RK-4 permette di risolvere poroblemi ai valori iniziali. Visto che la terza condizione del sistema di primo ordine non è una condizione iniziale, il metodo numerico sarà applicato per tentativi fino alla sua convergenza. Si immetteranno cioè valori di tentativo della $ f_2(0)$ fino a verificare il valore di $ f_2(\eta=\infty)=1$ .

Si riporta sotto il listato dei comandi per il programma ``Octave'' per la risoluzione del sistema:

$\displaystyle f \ =\ f_1
$

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{rcl}
f_1^{'} & = & f_2 \\
f_2^{'} & =...
...
f_3^{'} & = & - \ \frac{1}{2} \ f_1 \ f_3
\end{array}\right.
\end{displaymath}

con le condizioni al contorno:

   c.c.\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lclcll}
\displaystyle f_1(\eta=0) & = ...
...ow 1}&=& 1 & \mbox{Velocit\\lq a indisturbata}
\end{array}\right.
\end{displaymath}


\begin{VerbatimProg}
% latex2html id marker 9853\par
...
Figura 7.5: Andamento di $ u$ con $ f_2(0)=0.5$ .
\includegraphics[width=100mm]{u-05.eps}
Figura 7.6: Andamento di $ v$ con $ f_2(0)=0.5$ .
\includegraphics[width=100mm]{v-05.eps}
I risultati numerici con il valore di tentativo $ f_2(0)=0.5$ della velocità $ u$ :
\begin{VerbatimProg}
\par
...
e della velocità $ v$ tenendo conto della Eq. (7.1):
\begin{VerbatimProg}
\par
...
Ripetendo i calcoli e affinando il valore della $ f_2(0)=0.33206$ si perviene al risultato definitivo per
Figura 7.7: Andamento di $ u$ per $ f_2(0)=0.33206$ .
\includegraphics[width=100mm]{u-ok.eps}
Figura 7.8: Andamento di $ v$ per $ f_2(0)=0.33206$ .
\includegraphics[width=100mm]{v-ok.eps}
la velocità $ u$ :
\begin{VerbatimProg}
\par
...
Si nota come per il valore $ \eta=5$ la velocità raggiunge il $ 99\%$ della velocità indisturbata. Si ottiene quindi la velocità $ v$ ottenuta ricorrendo alla Eq. (7.1):
\begin{VerbatimProg}
\par
...
La tabella dei risultati numerici complessivi:
\begin{VerbatimProg}
\par
...


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2009-01-26