Forme integrali lagrangiana ed euleriana

L'equazione di bilancio della quantità di moto relativa ad un fluido confinato all'interno di un volume $V$ si ottiene ricorrendo alla seconda legge di Newton applicata a ciascuna delle particelle costituenti il fluido.

$$\left. \sum F_i=\frac{d(mu)_i}{dt}\right\vert _{(1=1,2,3)}$$

Considerando le forze agenti sulla particella fluida come:

• forze di volume
• forze di superficie
  • forze di pressione
  • forze tangenziali

l'espressione lagrangiana dell'equazione di bilancio integrale della quantità di moto assume la forma:

$$\left.\ensuremath{\frac{d}{dt}}\int_V \rho \ u_i \ dv=\int_V\gamm... ... \int_S P \ \vec{n}\ \vec{i} \ dS + \int_S \tau_i \ dS \right\vert _{(i=1,2,3)}$$ (2.1) ^2.1

Applicando il teorema di Reynolds al primo membro dell'equazione sopra se ne ottiene la espressione integrale del bilancio della quantità di moto in forma euleriana:

$$\left. \ensuremath{\frac{\partial}{\partial t}}\int_V\rho \ u_i \... ...nt_S P \ \vec{n}\ \vec{\imath}_i dS + \int_S \tau_i dS \right\vert _{(i=1,2,3)}$$ (2.2)

Nell'espressione euleriana compare tra le forze presenti nel secondo membro il contributo dovuto alla quantità di moto del flusso di fluido scambiato dal volume di controllo attaverso la sua superficie con l'esterno^2.2.

Sfruttando il teorema del flusso di Gauss, trasformando gli integrali di superficie che compaiono nella Eq. (2.2) in integrali di volume, si ottiene la forma differenziale della stessa, ossia le equazioni di Navier-Stokes.
Il flusso della quantità di moto diventa:

$$\int_S \rho\ u_i\ \vec{V}\ \vec{n}\ dS = \int_V \nabla (\rho\ u_i\ \vec{V})\ dv$$

$$= \left. \int_V \left( \ensuremath{\frac{\partial (\rho \ u_i \ u_1... ...partial (\rho \ u_i \ u_3)}{\partial x_3}} \right)\ dv \right\vert _{(i=1,2,3)}$$

La risultante delle forze di pressione:

$$\int_S P\ \ensuremath{\vec{n}}\ \vec{\imath}_i\ dS = \vec{\imath}_i \ \int_S P\ \ensuremath{\vec{n}}\ dS$$

$$= \vec{\imath}_i \ \int_V \nabla P\ dv$$

$$= \left. \int_V \ensuremath{\frac{\partial P}{\partial x_i}}\ dv \right\vert _{(i=1,2,3)}$$ (2.3)

L'esplicitazione della risultante delle forze tangenziali richiede degli approfondimenti.